Demonstre por indução matemática:
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando indução matemática, que
para todo . O conteúdo é o princípio de indução: fazemos a base (caso inicial) e depois mostramos o passo indutivo.
para todo
Passo 2
Base da indução
. Verificamos
Como
é verdadeiro, a propriedade vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que, para um
qualquer, seja válido
Passo 4
Passo indutivo. A partir de
, multiplicamos os dois lados por
(e como
a desigualdade se mantém):
Isso é
que é exatamente a propriedade para
.
Resposta
Pelo princípio da indução, concluímos que
para todo
.