Demonstre os itens a seguir, supondo que S e E satisfazem a condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
\iint D_{n} f d S=\iiint_{E} \nabla^{2} f d V.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se S=\partial E é a fronteira suave de uma região E\subset\mathbb{R}^3 e f é uma função de classe C^2, então vale a identidade
\iint_{S}D_{n}f\,dS = \iiint_{E}\nabla^2 f\,dV.
O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema do Divergente (ou Gauss), aplicando-o a um campo vetorial construído a partir de f.

Passo 2

Definimos o campo vetorial
F = \nabla f.
Por definição, a derivada direcional de f na direção da normal externa unitária n a S é
D_{n}f = \nabla f \cdot n = F\cdot n.
Logo o fluxo de F através de S é precisamente
\iint_{S}F\cdot n\,dS = \iint_{S}D_{n}f\,dS.

Passo 3

Calculamos a divergência de F. Como F=\nabla f e f é C^2, temos
\mathrm{div}\,F = \nabla\cdot(\nabla f) = \nabla^2 f,
que é o laplaciano de f.

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema do Divergente a F, que diz
\iint_{S}F\cdot n\,dS = \iiint_{E}\mathrm{div}\,F\,dV.
Substituindo F\cdot n = D_{n}f e \mathrm{div}\,F=\nabla^2 f, obtemos
\iint_{S}D_{n}f\,dS = \iiint_{E}\nabla^2 f\,dV.

Resposta

\iint_{S}D_{n}f\,dS = \iiint_{E}\nabla^2 f\,dV.

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