Demonstre os itens a seguir, supondo que
e
satisfazem a condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é a fronteira suave de uma região
e
é uma função de classe
, então vale a identidade
O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema do Divergente (ou Gauss), aplicando-o a um campo vetorial construído a partir de
.
Passo 2
Definimos o campo vetorial
Por definição, a derivada direcional de
na direção da normal externa unitária
a
é
Logo o fluxo de
através de
é precisamente
Passo 3
Calculamos a divergência de
. Como
e
é
, temos
que é o laplaciano de
.
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema do Divergente a
, que diz
Substituindo
e
, obtemos