L=12 m(dotx^2-omega^2 x^2) e^lambda t
(a) Mostre que a mesma gera a equação de movimento de um oscilador harmônico amortecido e obtenha a sua solução geral.
(b) Mostre que a transformação de ponto q=e^lambda t / 2 x elimina a dependência temporal explícita na Lagrangiana. Mostre que a solução geral da equação de movimento associada é idêntica à solução do item (a).

Passo 1

Beleza, o exercício pede duas coisas com essa Lagrangiana
L=tfrac12,ml(dot x^2-omega^2x^2r)e^lambda t
Conteúdo: mecânica lagrangiana (equação de Euler–Lagrange), ODE de oscilador amortecido e transformação de coordenada.
O que vamos usar:
  1. Fórmula de Euler–Lagrange
  2. Solução de equação diferencial linear de 2º ordem
  3. Transformação de ponto

Passo 2

Vamos aplicar a equação de Euler–Lagrange em ddtl(partial Lpartialdot xr)-partial Lpartial x=0 :
m,e^lambda t(ddot x+lambdadot x)+m,omega^2x,e^lambda t=0 ;;Rightarrow;; ddot x+lambdadot x+omega^2x=0
Calculemos:


Também

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Passo 3

Essa é a equação do oscilador harmônico amortecido. A gente monta a equação característica
r^2+lambda r+omega^2=0,
soluções
r1,2=-tfraclambda2pmraiztfraclambda^24-omega^2
Para o caso subamortecido ( x(t)=e^-lambda2tl(C1cosOmega t + C2sinOmega tr) ) define-se

e a solução geral fica

Passo 4

Agora faz a transformação de ponto
q=e^lambda2tx
Calculamos
L =tfrac12,m,e^lambda tl(dot x^2-omega^2x^2r) =tfrac12,ml(dot q^2-(omega^2-tfraclambda^24)q^2r) .
Substituindo em :
Repare que não há mais explícito!

Passo 5

Com essa ddot q+(omega^2-tfraclambda^24),q=0, o Euler–Lagrange dá
ddot q+Omega^2q=0,
ou seja
q(t)=AcosOmega t+BsinOmega t
solução
x(t)=e^-lambda2t,q(t) =e^-lambda2tl(AcosOmega t+BsinOmega tr),
Voltando pra :
que é justamente a solução do item (a).

Resposta

(a) A E-L gera com solução
, .
(b) Com a Lagrangiana vira independente de , e a solução de leva de volta à mesma do item (a).

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