(a) Mostre que a mesma gera a equação de movimento de um oscilador harmônico amortecido e obtenha a sua solução geral.
(b) Mostre que a transformação de ponto
elimina a dependência temporal explícita na Lagrangiana. Mostre que a solução geral da equação de movimento associada é idêntica à solução do item (a).
(b) Mostre que a transformação de ponto
Passo 1
Beleza, o exercício pede duas coisas com essa Lagrangiana
Conteúdo: mecânica lagrangiana (equação de Euler–Lagrange), ODE de oscilador amortecido e transformação de coordenada.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- Fórmula de Euler–Lagrange
- Solução de equação diferencial linear de 2º ordem
- Transformação de ponto
Passo 2
Vamos aplicar a equação de Euler–Lagrange em
:
Calculemos:
Também
Logo a EL vira
Também
Logo a EL vira
Passo 3
Essa é a equação do oscilador harmônico amortecido. A gente monta a equação característica
soluções
Para o caso subamortecido (
) define-se
e a solução geral fica
e a solução geral fica
Passo 4
Agora faz a transformação de ponto
Calculamos
.
Substituindo em :
Substituindo em
Repare que não há mais
explícito!
Passo 5
Com essa
o Euler–Lagrange dá
ou seja
solução
Voltando pra
:
que é justamente a solução do item (a).
Resposta
(a) A E-L gera
com solução
,
.
(b) Com a Lagrangiana vira independente de
, e a solução de
leva de volta à mesma
do item (a).
(b) Com