(a) Supondo que a força de resistência do ar seja proporcional à velocidade, obtenha a equação de movimento da partícula com a função de dissipação F=lambda v^2 / 2.
(b) Determine a velocidade como função do tempo e prove que a velocidade terminal para a queda é v=m g / lambda.
© Determine a equação de movimento se a força de resistência é proporcional a v^2, ou seja, se F= lambda v v^2 / 3. Você é capaz de resolver a equação de movimento neste caso?

Passo 1

Beleza, o enunciado quer a gente usar Mecânica Lagrangeana com dissipação (função de Rayleigh) pra estudar a queda de uma partícula sujeita a gravidade e resistência do ar.
Conteúdo:
  1. Lagrangiana ddt!l(partial L/partial vr);-;partial L/partial x;+;partial Fpartial v=0 e força dissipativa a partir da função de Rayleigh .
  2. Equação de movimento com dissipação:
O que vamos precisar:
– Escrever .
– Calcular para cada caso.
– Resolver a EDO resultante.

Passo 2

Função dissipação L=tfrac12 m v^2 - m g x .
  1. Lagrangiana:
ddt(m v) -(-m g) + partialFpartial v=0 ;Longrightarrow; mdvdt -(-m g) + lambda v = 0
  1. Aplicando
mdvdt = m g - lambda,v
Reorganizando,
Essa é a equação de movimento pra resistência linear.

Passo 3

Agora resolvemos
dvdt + lambdam,v = g
É uma EDO linear de 1ª ordem. Fator integrante v(t)=m glambdal(1 - e^-(lambda/m),tr) . A solução, assumindo vrm term=m glambda , dá
Quando , e aparece a velocidade terminal

Passo 4

Agora partialFpartial v=lambda,v^2, . Então
mdvdt = m g - lambda,v^2
e a EoM fica
dvg - (lambda/m)v^2 = dt
É separável:
v(t) =raizm glambda;tanh!l(raiztfracglambdam;tr)
Integrando (e escorando em funções hiperbólicas) obtém-se
Ou seja, sim, dá pra resolver e mostra que quando .

Resposta

(a) Equação de movimento:
mdvdt=m g-lambda,v
(b) Solução e velocidade terminal:
v(t)=m glambdal(1-e^-(lambda/m)tr), vinfty=m glambda
© Para mdvdt=m g-lambda,v^2, a EoM é
v(t) =raizm glambda;tanh!l(raiztfracglambdam,tr)
e sua solução (via separação de variáveis) é

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