(a) Supondo que a força de resistência do ar seja proporcional à velocidade, obtenha a equação de movimento da partícula com a função de dissipação
.
(b) Determine a velocidade como função do tempo e prove que a velocidade terminal para a queda é
.
© Determine a equação de movimento se a força de resistência é proporcional a
, ou seja, se
. Você é capaz de resolver a equação de movimento neste caso?
(b) Determine a velocidade como função do tempo e prove que a velocidade terminal para a queda é
© Determine a equação de movimento se a força de resistência é proporcional a
Passo 1
Beleza, o enunciado quer a gente usar Mecânica Lagrangeana com dissipação (função de Rayleigh) pra estudar a queda de uma partícula sujeita a gravidade e resistência do ar.
Conteúdo:
Conteúdo:
- Lagrangiana
e força dissipativa a partir da função de Rayleigh . - Equação de movimento com dissipação:
O que vamos precisar:
– Escrever .
– Calcular para cada caso.
– Resolver a EDO resultante.
– Escrever
– Calcular
– Resolver a EDO resultante.
Passo 2
Função dissipação
.
- Lagrangiana:
- Aplicando
Reorganizando,
Essa é a equação de movimento pra resistência linear.
Passo 3
Agora resolvemos
É uma EDO linear de 1ª ordem. Fator integrante
. A solução, assumindo
, dá
Quando
,
e aparece a velocidade terminal
Passo 4
Agora
. Então
e a EoM fica
É separável:
Integrando (e escorando em funções hiperbólicas) obtém-se
Ou seja, sim, dá pra resolver e mostra que
quando
.
Resposta
(a) Equação de movimento:
(b) Solução e velocidade terminal:
© Para
a EoM é
e sua solução (via separação de variáveis) é