Demonstre que \lambda=5 é um autovetor da matriz \left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 4 & 3\end{array}\right), determine todos os autovetores associados ao autovalor \lambda=5.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 4 & 3\end{pmatrix}
e pede duas coisas:
Mostrar que \lambda=5 é um autovalor (autovalor = valor próprio) desta matriz.
Determinar todos os autovetores associados ao autovalor \lambda=5.
Informações fornecidas: a matriz A acima e o valor \lambda=5 que devemos testar. Nada mais foi dado.]
Passo 2
O que significa ser autovalor/autovetor? Vou explicar com calma.
Definição prática:
Dizemos que \lambda é um autovalor da matriz A se existe um vetor não-nulo v tal que
A v = \lambda v.
O vetor v correspondente chama-se autovetor associado a \lambda. O vetor zero não conta.
Equivalência útil para cálculo:
A v = \lambda v \quad\Longleftrightarrow\quad (A-\lambda I)v = 0,
onde I é a matriz identidade. Ter uma solução não-trivial para (A-\lambda I)v=0 significa que A-\lambda I é singular (determinante zero). Mas aqui vamos achar explicitamente os vetores para provar que \lambda=5 é autovalor.
Passo 3
Calcular a matriz A-5I. A matriz identidade I em dimensão 2 é \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}. Então
Para ser autovetor precisamos de v\neq 0, ou seja x\neq 0. Se chamarmos o parâmetro livre de t (com t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}), escrevemos a família de autovetores como
Isso mostra explicitamente que existe um vetor não-nulo v tal que A v = 5 v. Logo \lambda=5 é realmente um autovalor, e os autovetores associados são os que encontramos.
Observação adicional (opcional): o espaço próprio (eigenspace) associado a \lambda=5 é a reta gerada por \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}, ou seja \operatorname{span}\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}\}.]
Resposta
\lambda=5 é um autovalor da matriz \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 4 & 3\end{pmatrix}.
Todos os autovetores associados a \lambda=5 são \;t\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}\; com t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.]