Demonstre que \lambda=5 é um autovetor da matriz \left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 4 & 3\end{array}\right), determine todos os autovetores associados ao autovalor \lambda=5.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 4 & 3\end{pmatrix}
e pede duas coisas:
  • Mostrar que \lambda=5 é um autovalor (autovalor = valor próprio) desta matriz.
  • Determinar todos os autovetores associados ao autovalor \lambda=5.
Informações fornecidas: a matriz A acima e o valor \lambda=5 que devemos testar. Nada mais foi dado.]

Passo 2

O que significa ser autovalor/autovetor? Vou explicar com calma.
Definição prática:
  • Dizemos que \lambda é um autovalor da matriz A se existe um vetor não-nulo v tal que
A v = \lambda v.
  • O vetor v correspondente chama-se autovetor associado a \lambda. O vetor zero não conta.
Equivalência útil para cálculo:
A v = \lambda v \quad\Longleftrightarrow\quad (A-\lambda I)v = 0,
onde I é a matriz identidade. Ter uma solução não-trivial para (A-\lambda I)v=0 significa que A-\lambda I é singular (determinante zero). Mas aqui vamos achar explicitamente os vetores para provar que \lambda=5 é autovalor.

Passo 3

Calcular a matriz A-5I. A matriz identidade I em dimensão 2 é \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}. Então
A-5I=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 4 & 3\end{pmatrix}-5\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1-5 & 2 \\[4pt] 4 & 3-5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-4 & 2 \\[4pt] 4 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Resolver o sistema (A-5I)v=0. Escrevendo v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}, temos
\begin{pmatrix}-4 & 2 \\[4pt] 4 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Isso gera as equações
-4x+2y=0,
4x-2y=0.
As duas equações são equivalentes (a segunda é -1 vezes a primeira), então há uma única relação entre x e y. Da primeira equação:
-4x+2y=0 \quad\Longrightarrow\quad 2y=4x \quad\Longrightarrow\quad y=2x.
Portanto qualquer vetor v solução tem a forma
v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] 2x\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\[4pt] 2\end{pmatrix}.
Para ser autovetor precisamos de v\neq 0, ou seja x\neq 0. Se chamarmos o parâmetro livre de t (com t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}), escrevemos a família de autovetores como
v=t\begin{pmatrix}1\\[4pt] 2\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.]

Passo 5

Verificação direta (para ficar tranquilo): escolha t=1, v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}. Calcular A v:
A\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot 1 + 2\cdot 2 \\[4pt] 4\cdot 1 + 3\cdot 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+4\\[4pt] 4+6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5\\[4pt]10\end{pmatrix} =5\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Isso mostra explicitamente que existe um vetor não-nulo v tal que A v = 5 v. Logo \lambda=5 é realmente um autovalor, e os autovetores associados são os que encontramos.
Observação adicional (opcional): o espaço próprio (eigenspace) associado a \lambda=5 é a reta gerada por \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}, ou seja \operatorname{span}\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}\}.]

Resposta

\lambda=5 é um autovalor da matriz \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 4 & 3\end{pmatrix}.
Todos os autovetores associados a \lambda=5 são \;t\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}\; com t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.]

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