Mostre que o vetor x=\binom{1}{1} é um autovetor da matriz \left(\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 1 & 3\end{array}\right) e determine o autovalor de x.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claramente:
  • Mostrar que o vetor x=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} é um autovetor da matriz \displaystyle A=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}.
  • Determinar o autovalor correspondente a x.
Informações dadas:
  • Matriz \displaystyle A=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}.
  • Vetor \displaystyle x=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 2

O que significa ser um autovetor e autovalor (definição usada):
  • Dizemos que um vetor não nulo v é autovetor de uma matriz A se existir um número (escalar) \lambda tal que
A v = \lambda v.
  • Nesse caso, \lambda é chamado autovalor associado a v.
Lembrete rápido sobre multiplicação matriz-vetor (2×2):
Se
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}, \qquad v=\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix},
então
A v = \begin{pmatrix}a v_1 + b v_2\\[4pt]c v_1 + d v_2\end{pmatrix}.
Vou aplicar essa operação com A e x.]

Passo 3

Calcular A x componente a componente:
Primeira componente:
(3)\cdot(1) + (1)\cdot(1) = 3 + 1 = 4.
Segunda componente:
(1)\cdot(1) + (3)\cdot(1) = 1 + 3 = 4.
Logo
A x = \begin{pmatrix}4\\[4pt]4\end{pmatrix}.]

Passo 4

Verificar se A x é múltiplo escalar de x:
Escrever \begin{pmatrix}4\\[4pt]4\end{pmatrix} como múltiplo de \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}:
\begin{pmatrix}4\\[4pt]4\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=4x.
Portanto
A x = 4 x,
o que coincide exatamente com a definição de autovetor/autovalor com \lambda=4.
Também é importante checar que x não é o vetor nulo; de fato x\neq\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}, então é um autovetor válido.]

Passo 5

Interpretação curta e encorajamento:
  • A operação mostrou que a matriz A multiplica o vetor x apenas esticando-o por um fator 4 (sem mudar sua direção). Isso é o que significa ser autovetor: direção preservada, só muda a escala.
  • Bom trabalho por chegar até aqui — esse tipo de verificação direta por multiplicação é a maneira mais rápida de checar se um vetor é autovetor numa prova.

Resposta

x=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} é autovetor de A e o autovalor correspondente é \lambda=4.]

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