Demonstre que:
\left|\begin{array}{ccc}1 & a^{2} & a^{3} \\\ 1 & b^{2} & b^{3} \\\ 1 & c^{2} & c^{3}\end{array}\right|=(b-a) \cdot(c-b) \cdot(c-a) \cdot(a b+b c+a c)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante
D = \begin{vmatrix} 1 & a^{2} & a^{3}\\\\ 1 & b^{2} & b^{3}\\\\ 1 & c^{2} & c^{3} \end{vmatrix}
e mostrar que
D = (b - a)\,(c - b)\,(c - a)\,(ab + bc + ac).
O conteúdo envolve expansão de Laplace em determinantes e fatoração de polinômios (tipo Vandermonde).

Passo 2

Expandimos D pela primeira linha (Laplace):
D = 1\cdot \begin{vmatrix} b^{2} & b^{3}\\\ c^{2} & c^{3} \end{vmatrix} - a^{2}\cdot \begin{vmatrix} 1 & b^{3}\\\\ 1 & c^{3} \end{vmatrix} + a^{3}\cdot \begin{vmatrix} 1 & b^{2}\\\\ 1 & c^{2} \end{vmatrix}.
Agora calculamos cada subdeterminante:
\begin{vmatrix} b^{2} & b^{3}\\\ c^{2} & c^{3} \end{vmatrix} = b^{2}c^{3}-b^{3}c^{2} = b^{2}c^{2}(c - b),
\begin{vmatrix} 1 & b^{3}\\\\ 1 & c^{3} \end{vmatrix} = c^{3}-b^{3} = (c - b)\,(c^{2}+bc+b^{2}),
\begin{vmatrix} 1 & b^{2}\\\\ 1 & c^{2} \end{vmatrix} = c^{2}-b^{2} = (c - b)\,(c + b).

Passo 3

Substituindo em D e fatorando (c-b), obtemos
D = (c - b)\Bigl[b^{2}c^{2} \;-\; a^{2}(c^{2}+bc+b^{2}) \;+\; a^{3}(c+b)\Bigr].
Definimos o polinômio em a:
P(a)=a^{3}(c+b)\;-\;a^{2}(c^{2}+bc+b^{2})\;+\;b^{2}c^{2}.

Passo 4

Notamos que P(b)=0 e P\text{(c)}=0, logo (a-b) e (a-c) são fatores de P(a). Como P é de grau 3 e o coeficiente de a^{3} é c+b, a divisão dá
P(a) = (a - b)\,(a - c)\,\bigl[(b+c)\,a + bc\bigr].
Verificamos rapidamente que expandir o lado direito reproduz os coeficientes de P(a).

Passo 5

Logo
D = (c - b)\,(a - b)\,(a - c)\,\bigl[(b+c)\,a + bc\bigr].
Como (a - b)(a - c)=(b - a)(c - a) e (b+c)a+bc=ab+ac+bc, segue
D = (b - a)\,(c - b)\,(c - a)\,(ab + bc + ac).

Resposta

(b - a)\,(c - b)\,(c - a)\,(ab + bc + ac).

Exercícios relacionados