Demonstre que:
\left|\begin{array}{rcr}1 & 1 & 1 \\cos A & \cos B & \cos C \\sin ^{2} \frac{A}{2} & \sin ^{2} \frac{B}{2} & \sin ^{2} \frac{C}{2}\end{array}\right|=0

Passo 1

O determinante que queremos mostrar nulo é
D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\\ \cos A & \cos B & \cos C\\\ \sin^2\frac{A}{2} & \sin^2\frac{B}{2} & \sin^2\frac{C}{2} \end{vmatrix}.
Vamos usar a identidade trigonométrica
\sin^2\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}
para ver uma dependência linear entre as linhas.

Passo 2

Pela identidade, cada entrada da terceira linha se escreve como
\sin^2\frac{A}{2} = \frac{1 - \cos A}{2},\quad \sin^2\frac{B}{2} = \frac{1 - \cos B}{2},\quad \sin^2\frac{C}{2} = \frac{1 - \cos C}{2}.
Logo a terceira linha é
\bigl(\sin^2\tfrac{A}{2},\,\sin^2\tfrac{B}{2},\,\sin^2\tfrac{C}{2}\bigr) = \tfrac12\,(1,1,1)\;-\;\tfrac12\,(\cos A,\cos B,\cos C).

Passo 3

Chamando de L_1 a primeira linha e L_2 a segunda, temos
L_3 = \tfrac12\,L_1 \;-\;\tfrac12\,L_2.
Isso mostra que L_1, L_2 e L_3 são linearmente dependentes. Em consequência, o determinante D é zero.

Resposta

0

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