Demonstre que:
\left|\begin{array}{ccc}\sin a & \sin ^{3} a & \sin 3 a \\sin b & \sin ^{3} b & \sin 3 b \\sin c & \sin ^{3} c & \sin 3 c\end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o determinante da matriz
\begin{pmatrix} \sin a & \sin^3 a & \sin 3a\\\ \sin b & \sin^3 b & \sin 3b\\\ \sin c & \sin^3 c & \sin 3c \end{pmatrix}
é zero. O conteúdo principal aqui é verificar se as colunas dessa matriz são linearmente dependentes, usando identidades trigonométricas.

Passo 2

Recorde a identidade do ângulo triplo para o seno:
\sin(3x)=3\sin(x)-4\sin^3(x).

Passo 3

Reescrevendo essa identidade, obtemos
\sin(3x)-3\sin(x)+4\sin^3(x)=0.
Isso vale para qualquer x, em particular para x=a, x=b e x=c. Logo, para cada linha da matriz temos a combinação linear nula entre as colunas:
1\cdot\bigl(\sin(3x)\bigr)\;+\;(-3)\cdot\bigl(\sin x\bigr)\;+\;4\cdot\bigl(\sin^3 x\bigr)\;=\;0.

Passo 4

Como as três colunas satisfazem a mesma relação linear não trivial, elas são linearmente dependentes. Qualquer matriz com colunas linearmente dependentes tem determinante igual a zero.

Resposta

0

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