Demonstre que:
\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & a & a^{2} \\\ 0 & 1 & b & b^{2} \\\ 1 & 0 & c & c^{2} \\\ 0 & 1 & d & d^{2}\end{array}\right|=(b-d) \cdot(a-c) \cdot(b+d-a-c)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante
\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 0 & a & a^{2} \\[6pt] 0 & 1 & b & b^{2} \\[6pt] 1 & 0 & c & c^{2} \\[6pt] 0 & 1 & d & d^{2} \end{vmatrix}
O conteúdo envolve operações elementares em linhas (que não alteram o valor do determinante) e fatoração de polinômios do tipo x^2 - y^2.]

Passo 2

Subtraímos a linha 1 da linha 3 e a linha 2 da linha 4. Como somar múltiplo de outra linha não muda o determinante, temos
\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 0 & a & a^{2} \\[4pt] 0 & 1 & b & b^{2} \\[4pt] 0 & 0 & c - a & c^{2} - a^{2} \\[4pt] 0 & 0 & d - b & d^{2} - b^{2} \end{vmatrix}.]

Passo 3

Fatoramos c^{2}-a^{2}=(c-a)(c+a) na linha 3 e d^{2}-b^{2}=(d-b)(d+b) na linha 4, extraindo (c-a) e (d-b):
\Delta = (c-a)\,(d-b)\, \begin{vmatrix} 1 & 0 & a & a^{2} \\[4pt] 0 & 1 & b & b^{2} \\[4pt] 0 & 0 & 1 & c+a \\[4pt] 0 & 0 & 1 & d+b \end{vmatrix}.
Em seguida, fazemos linha 4 := linha 4 – linha 3, obtendo
\Delta = (c-a)\,(d-b)\, \begin{vmatrix} 1 & 0 & a & a^{2} \\[4pt] 0 & 1 & b & b^{2} \\[4pt] 0 & 0 & 1 & c+a \\[4pt] 0 & 0 & 0 & d+b - c - a \end{vmatrix}.]

Passo 4

Agora a matriz é triangular, então o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal vezes os fatores extraídos:
\Delta = (c-a)\,(d-b)\,\bigl(1\cdot1\cdot1\cdot(d+b - c - a)\bigr) =(c-a)\,(d-b)\,(d+b - c - a).
Como (c-a)(d-b)=(a-c)(b-d) e d+b - c - a = b+d -a -c, segue
\Delta = (b-d)\,(a-c)\,(b+d - a - c).

Resposta

(b-d)\cdot(a-c)\cdot(b+d - a - c)

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