Demonstre que: \left|\begin{array}{ccc}\sin a & \sin ^{3} a & \sin 3 a \\sin b & \sin ^{3} b & \sin 3 b \\sin c & \sin ^{3} c & \sin 3 c\end{array}\right|=0 Passo 1O enunciado pede para mostrar que o determinante da matriz \begin{pmatrix} \sin a & \sin^3 a & \sin 3a\\\ \sin b & \sin^3 b & \sin 3b\\\ \sin c & \sin^3 c & \sin 3c \end{pmatrix} é zero. O conteúdo principal aqui é verificar se as colunas dessa matriz são linearmente dependentes, usando identidades trigonométricas. Passo 2Recorde a identidade do ângulo triplo para o seno: \sin(3x)=3\sin(x)-4\sin^3(x). Passo 3Reescrevendo essa identidade, obtemos \sin(3x)-3\sin(x)+4\sin^3(x)=0. Isso vale para qualquer x, em particular para x=a, x=b e x=c. Logo, para cada linha da matriz temos a combinação linear nula entre as colunas: 1\cdot\bigl(\sin(3x)\bigr)\;+\;(-3)\cdot\bigl(\sin x\bigr)\;+\;4\cdot\bigl(\sin^3 x\bigr)\;=\;0. Passo 4Como as três colunas satisfazem a mesma relação linear não trivial, elas são linearmente dependentes. Qualquer matriz com colunas linearmente dependentes tem determinante igual a zero. Resposta0 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDemonstre que: \left|\begin{array}{ccc}\sin a & \sin ^{3} a & \sin 3 a \\sin b & \sin ^{3} b & \sin 3 b \\sin c & \sin ^{3} c & \sin 3 c\end{array}\right|=0 Demonstre que: \left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & a & a^{2} \\\ 0 & 1 & b & b^{2} \\\ 1 & 0 & c & c^{2} \\\ 0 & 1 & d & d^{2}\end{array}\right|=(b-d) \cdot(a-c) \cdot(b+d-a-c) Demonstre que: \left|\begin{array}{ccc}\sin a & \sin ^{3} a & \sin 3 a \\sin b & \sin ^{3} b & \sin 3 b \\sin c & \sin ^{3} c & \sin 3 c\end{array}\right|=0 Demonstre que: \left|\begin{array}{ccc}1 & a^{2} & a^{3} \\\ 1 & b^{2} & b^{3} \\\ 1 & c^{2} & c^{3}\end{array}\right|=(b-a) \cdot(c-b) \cdot(c-a) \cdot(a b+b c+a c)