Demonstre que a lei de Kirchhoff relativa à soma de correntes num nó de uma malha de circuito elétrico está diretamente relacionada
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a Lei de Kirchhoff das correntes num nó, que diz que a soma algébrica das correntes que chegam e saem de um nó é zero, decorre diretamente da condição
. O conteúdo de matéria é Eletromagnetismo (equação de continuidade e Teorema da Divergência de Gauss) e vamos precisar relacionar densidade de corrente
com correntes nos ramos do nó.
Passo 2
Em eletromagnetismo, a conservação de carga local é dada pela equação de continuidade:
onde
é a densidade volumétrica de carga. Em regime estacionário (circuito DC em estado permanente) não há acumulação de carga no nó, logo
. Daí resulta
Passo 3
Para conectar
com a Lei de Kirchhoff, escolhemos um pequeno volume de controle
que envolve o nó. Cada fio que chega ou sai define um “tubo” que atravessa a superfície fechada
. Em cada tubo, o fluxo de
pela superfície corresponde à corrente elétrica naquele ramo.
Passo 4
Aplicamos o Teorema da Divergência (Gauss) ao volume
:
Como
em todo
, o lado esquerdo vale zero, portanto
Passo 5
Cada termo
é exatamente a corrente
fluindo pelo fio
, com sinal positivo se sai do volume e negativo se entra. Logo
que é precisamente a Lei de Kirchhoff para correntes num nó.
Resposta
Mostramos que em regime estacionário
implica, via Teorema da Divergência, que o somatório das correntes nos ramos de um nó deve ser zero, recuperando a Lei de Kirchhoff das correntes.