Demonstre que a lei de Kirchhoff relativa à soma de correntes num nó de uma malha de circuito elétrico está diretamente relacionada \operatorname{com} \operatorname{div} \mathbf{J}=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a Lei de Kirchhoff das correntes num nó, que diz que a soma algébrica das correntes que chegam e saem de um nó é zero, decorre diretamente da condição \nabla\!\cdot\mathbf{J}=0. O conteúdo de matéria é Eletromagnetismo (equação de continuidade e Teorema da Divergência de Gauss) e vamos precisar relacionar densidade de corrente \mathbf{J} com correntes nos ramos do nó.

Passo 2

Em eletromagnetismo, a conservação de carga local é dada pela equação de continuidade:
\nabla\!\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0,
onde \rho é a densidade volumétrica de carga. Em regime estacionário (circuito DC em estado permanente) não há acumulação de carga no nó, logo \partial\rho/\partial t = 0. Daí resulta
\nabla\!\cdot\mathbf{J} = 0.

Passo 3

Para conectar \nabla\!\cdot\mathbf{J}=0 com a Lei de Kirchhoff, escolhemos um pequeno volume de controle V que envolve o nó. Cada fio que chega ou sai define um “tubo” que atravessa a superfície fechada S=\partial V. Em cada tubo, o fluxo de \mathbf{J} pela superfície corresponde à corrente elétrica naquele ramo.

Passo 4

Aplicamos o Teorema da Divergência (Gauss) ao volume V:
\int_{V} \nabla\!\cdot\mathbf{J}\,dV \;=\;\oint_{S} \mathbf{J}\cdot\mathbf{n}\,dS.
Como \nabla\!\cdot\mathbf{J}=0 em todo V, o lado esquerdo vale zero, portanto
\oint_{S} \mathbf{J}\cdot\mathbf{n}\,dS = 0.

Passo 5

Cada termo \int_{\text{tubo}_k}\mathbf{J}\!\cdot\mathbf{n}\,dS é exatamente a corrente I_k fluindo pelo fio k, com sinal positivo se sai do volume e negativo se entra. Logo
\sum_{k} I_k \;=\; 0,
que é precisamente a Lei de Kirchhoff para correntes num nó.

Resposta

Mostramos que em regime estacionário \nabla\!\cdot\mathbf{J}=0 implica, via Teorema da Divergência, que o somatório das correntes nos ramos de um nó deve ser zero, recuperando a Lei de Kirchhoff das correntes.

Exercícios relacionados