Demonstre que
Passo 1
O enunciado pede mostrar que, para
fixo (inteiro positivo),
Informações dadas:
- A função do numerador é
. - A função do denominador é
, com fixo. - Quer-se provar que a razão cresce sem limite (
) quando .
Passo 2
Observação inicial sobre o tipo de indeterminação: ao fazer
temos
e
. Portanto a forma
é do tipo
, uma indeterminação clássica onde podemos aplicar a regra de l’Hôpital (se as hipóteses dela forem satisfeitas).
Passo 3
Enunciado prático da regra de l’Hôpital (versão usada aqui), em linguagem simples:
Se e
são diferenciáveis para
suficientemente grandes,
e
(ou ambos
), então, se o limite
Se
existe (ou é
), temos
Vamos aplicar isso repetidamente ao par
e
.
Passo 4
Primeira aplicação de l’Hôpital:
-
. -
.
Logo
Note que a nova razão ainda é do tipo
, pois
e
. Assim podemos aplicar l’Hôpital novamente.
Passo 5
Aplicando l’Hôpital repetidas vezes vemos um padrão. A
-ésima derivada de
é
e a derivada de qualquer ordem de
é sempre
. Portanto, após
aplicações de l’Hôpital obtemos
Enquanto
a expressão continua do tipo
e podemos prosseguir.
Passo 6
Escolhendo
(ou seja, aplicando l’Hôpital
vezes) obtemos no denominador a derivada de ordem
de
, que é a constante
. Assim
Mas
quando
, porque
e dividir por uma constante positiva não impede isto. Logo o limite é
.
Passo 7
Interpretação e intuição rápida (para ajudar na prova oral): a derivada do numerador nunca diminui
— continua crescendo exponencialmente — enquanto derivando o denominador repetidas vezes acabamos com uma constante. Isso formaliza a ideia de que a função exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio.