Demonstre que
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{x^{n}}=\infty

Passo 1

O enunciado pede mostrar que, para n fixo (inteiro positivo),
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x^{n}}=\infty.
Informações dadas:
  • A função do numerador é e^{x}.
  • A função do denominador é x^{n}, com n\in\mathbb{N} fixo.
  • Quer-se provar que a razão cresce sem limite ( \infty) quando x\to\infty.

Passo 2

Observação inicial sobre o tipo de indeterminação: ao fazer x\to\infty temos e^{x}\to\infty e x^{n}\to\infty. Portanto a forma \dfrac{e^{x}}{x^{n}} é do tipo \dfrac{\infty}{\infty}, uma indeterminação clássica onde podemos aplicar a regra de l’Hôpital (se as hipóteses dela forem satisfeitas).

Passo 3

Enunciado prático da regra de l’Hôpital (versão usada aqui), em linguagem simples:
Se f e g são diferenciáveis para x suficientemente grandes, g'(x)\neq0 e \lim_{x\to\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} g(x)=\infty (ou ambos 0), então, se o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (ou é \pm\infty), temos
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Vamos aplicar isso repetidamente ao par f(x)=e^{x} e g(x)=x^{n}.

Passo 4

Primeira aplicação de l’Hôpital:
  • f'(x)=e^{x}.
  • g'(x)=n x^{n-1}.
    Logo
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x^{n}}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{n x^{n-1}}.
Note que a nova razão ainda é do tipo \dfrac{\infty}{\infty}, pois e^{x}\to\infty e n x^{n-1}\to\infty. Assim podemos aplicar l’Hôpital novamente.

Passo 5

Aplicando l’Hôpital repetidas vezes vemos um padrão. A k-ésima derivada de x^{n} é
\frac{d^{\,k}}{dx^{k}}x^{n}=\frac{n!}{(n-k)!}\,x^{\,n-k}\qquad\text{para }k\le n,
e a derivada de qualquer ordem de e^{x} é sempre e^{x}. Portanto, após k aplicações de l’Hôpital obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x^{n}} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{\dfrac{n!}{(n-k)!}\,x^{\,n-k}}.
Enquanto k<n a expressão continua do tipo \dfrac{\infty}{\infty} e podemos prosseguir.

Passo 6

Escolhendo k=n (ou seja, aplicando l’Hôpital n vezes) obtemos no denominador a derivada de ordem n de x^{n}, que é a constante n!. Assim
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x^{n}} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{n!}.
Mas \dfrac{e^{x}}{n!}\to\infty quando x\to\infty, porque e^{x}\to\infty e dividir por uma constante positiva não impede isto. Logo o limite é \infty.

Passo 7

Interpretação e intuição rápida (para ajudar na prova oral): a derivada do numerador nunca diminui e^{x} — continua crescendo exponencialmente — enquanto derivando o denominador repetidas vezes acabamos com uma constante. Isso formaliza a ideia de que a função exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio.

Resposta

\infty

Exercícios relacionados