Determine a para que a função
f(x)= \begin{cases}\frac{\operatorname{tg} x}{\operatorname{sen} 2 x} & \text { se } x \neq 0 \\\ \cos a & \text { se } x=0\end{cases}
seja contínua em \mathrm{x}=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a função definida por partes
f(x)= \begin{cases}\dfrac{\tan x}{\sin 2x} & \text{se } x\neq 0,\\[6pt] \cos a & \text{se } x=0,\end{cases}
e pede para determinar os valores de a que fazem f contínua em x=0.
Informações relevantes do enunciado:
  • A expressão para f(x) quando x\neq0 é \dfrac{\tan x}{\sin 2x}.
  • O valor de f em x=0 é dado por \cos a (dependendo de a).
  • O que se quer: encontrar a tal que f seja contínua em x=0.]

Passo 2

Lembrete sobre continuidade em um ponto (isso é importante para saber o que precisamos igualar): uma função f é contínua em x=0 se, e somente se,
\lim_{x\to 0} f(x)=f(0).
No nosso caso, isso significa que devemos ter
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{\sin 2x}=\cos a.
Ou seja, primeiro calculamos o limite do ramo x\neq0 quando x\to0; depois igualamos esse limite a \cos a e resolvemos para a.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão para x\neq0 antes de tomar o limite. Usamos as identidades trigonométricas básicas:
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, \qquad \sin 2x=2\sin x\cos x.
Substituindo essas identidades na expressão:
\frac{\tan x}{\sin 2x} = \frac{\dfrac{\sin x}{\cos x}}{2\sin x\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{1}{2\sin x\cos x}.
Agora podemos cancelar \sin x (isso é válido para x\neq0; perto de 0 e diferente de 0 temos \sin x\neq0 exceto exatamente em x=0, que já está excluído nesta expressão), ficando
\frac{\tan x}{\sin 2x}=\frac{1}{2\cos^2 x},\qquad x\neq0.
Observação: também é importante que \cos x não seja zero no entorno de 0 (de fato \cos 0=1), então a divisão por \cos x é segura ao tomar o limite x\to0.

Passo 4

Agora calculemos o limite usando a forma simplificada, que é mais direta porque \cos x é contínua:
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{\sin 2x} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{2\cos^2 x} = \frac{1}{2\cos^2 0}.
Como \cos 0=1, obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{\sin 2x}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Para que f seja contínua em x=0 precisamos de \cos a igual a esse limite. Logo
\cos a=\frac{1}{2}.
Agora resolvemos a equação trigonométrica. As soluções gerais de \cos\theta=\dfrac{1}{2} são
\theta=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto os valores de a que funcionam são
a=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

a=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.

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