Dadas a funções a seguir, encontre as assíntotas horizontais e verticais:
Passo 1
O enunciado fornece a função racional
e pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais. Informações relevantes dadas:
- A função é uma razão de polinômios (função racional).
- O denominador é
, cujas raízes (valores que anulam o denominador) são e . Isso significa que a função não está definida nesses pontos. - O numerador é
.
Passo 2
O que é uma assíntota vertical e como identificá-la (aulas rápidas, sem pânico).
- Definição intuitiva:
é uma assíntota vertical se, quando se aproxima de , o valor de tende a ou a . - Regra prática para funções racionais: procurar zeros do denominador. Se um zero do denominador não for “cancelado” por um fator igual no numerador, normalmente esse zero gera uma assíntota vertical. Se houver cancelamento (fator comum), o ponto é uma descontinuidade removível (buraco), não uma assíntota vertical.
Vamos fatorar numerador e denominador para ver cancelamentos:
Fatorando o numerador:
Portanto a função pode ser escrita como
Passo 3
Analisando o cancelamento e a presença de buraco:
- Observa-se o fator comum
no numerador e no denominador. Isso significa que em há uma descontinuidade removível (um buraco). A função original não está definida em , mas o limite existe. - Simplificando (cancelando o fator comum) obtemos a expressão equivalente para
:
- Para encontrar o valor no buraco, calcula-se o limite quando
:
Logo há um buraco em
com valor limite
. Importante: por ser removível,
NÃO é assíntota vertical.
Passo 4
Identificando a(s) assíntota(s) vertical(is):
- O outro zero do denominador é
. Após o cancelamento feito acima, o denominador ainda anula em (não foi cancelado), portanto é candidato a assíntota vertical. - Para confirmar, examine os limites laterais quando
. Usamos a forma simplificada .
Calcule os sinais próximos a
:
- Para
(chegando por valores menores que ), tenha . O numerador em é (negativo). Então numerador negativo, denominador negativo quociente positivo grande, logo
- Para
(chegando por valores maiores que ), e numerador continua (negativo), então quociente negativo grande, logo
Como pelo menos um dos limites laterais diverge para infinito,
é uma assíntota vertical. (Os sinais opostos indicam comportamento diferente de cada lado.)
Passo 5
O que é uma assíntota horizontal e como encontrá-la (aula rápida e prática).
- Definição:
é assíntota horizontal se ou . Pode haver uma assíntota horizontal para , para , ou ambas com o mesmo . - Regra prática para funções racionais: comparar os graus dos polinômios no numerador e denominador.
- Se grau(numerador) < grau(denominador) então
. - Se grau(numerador) = grau(denominador) então
razão dos coeficientes líderes. - Se grau(numerador) > grau(denominador) por exatamente 1, há uma assíntota oblíqua (reta inclinada). Se for maior por mais de 1, comportamento cresce sem assíntota linear simples.
- Se grau(numerador) < grau(denominador) então
Na função dada, ambos numerador e denominador têm grau
. Portanto a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes: coeficiente líder do numerador é
e do denominador é
. Logo a assíntota horizontal é
Passo 6
Confirmação via limites no infinito (pra ficar bem seguro):
- Calcule
Dividindo numerador e denominador por
(técnica padrão):
- O mesmo vale para
:
Portanto a assíntota horizontal é
tanto à direita quanto à esquerda.
Passo 7
Resumo do que encontramos (sem repetir justificativas longas):
- Há um buraco (descontinuidade removível) em
com valor limite . - A única assíntota vertical é
. - A assíntota horizontal é
.
Resposta
Assíntota horizontal:
Assíntota vertical:
Assíntota vertical: