Dadas a funções a seguir, encontre as assíntotas horizontais e verticais:
f(x)=\frac{2 x^{2}-x-1}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado fornece a função racional
f(x)=\frac{2x^{2}-x-1}{x^{2}-1}
e pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais. Informações relevantes dadas:
  • A função é uma razão de polinômios (função racional).
  • O denominador é x^{2}-1, cujas raízes (valores que anulam o denominador) são x=1 e x=-1. Isso significa que a função não está definida nesses pontos.
  • O numerador é 2x^{2}-x-1.

Passo 2

O que é uma assíntota vertical e como identificá-la (aulas rápidas, sem pânico).
  • Definição intuitiva: x=a é uma assíntota vertical se, quando x se aproxima de a, o valor de f(x) tende a +\infty ou a -\infty.
  • Regra prática para funções racionais: procurar zeros do denominador. Se um zero do denominador não for “cancelado” por um fator igual no numerador, normalmente esse zero gera uma assíntota vertical. Se houver cancelamento (fator comum), o ponto é uma descontinuidade removível (buraco), não uma assíntota vertical.
Vamos fatorar numerador e denominador para ver cancelamentos:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Fatorando o numerador:
2x^{2}-x-1=(2x+1)(x-1).
Portanto a função pode ser escrita como
f(x)=\frac{(2x+1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}.

Passo 3

Analisando o cancelamento e a presença de buraco:
  • Observa-se o fator comum (x-1) no numerador e no denominador. Isso significa que em x=1 há uma descontinuidade removível (um buraco). A função original não está definida em x=1, mas o limite existe.
  • Simplificando (cancelando o fator comum) obtemos a expressão equivalente para x\neq\pm1:
f(x)=\frac{2x+1}{x+1},\qquad x\neq\pm1.
  • Para encontrar o valor no buraco, calcula-se o limite quando x\to1:
\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}\frac{2x+1}{x+1}=\frac{2\cdot1+1}{1+1}=\frac{3}{2}.
Logo há um buraco em x=1 com valor limite f(x)\to\frac{3}{2}. Importante: por ser removível, x=1 NÃO é assíntota vertical.

Passo 4

Identificando a(s) assíntota(s) vertical(is):
  • O outro zero do denominador é x=-1. Após o cancelamento feito acima, o denominador ainda anula em x=-1 (não foi cancelado), portanto x=-1 é candidato a assíntota vertical.
  • Para confirmar, examine os limites laterais quando x\to-1. Usamos a forma simplificada \dfrac{2x+1}{x+1}.
Calcule os sinais próximos a x=-1:
  • Para x\to-1^{-} (chegando por valores menores que -1), tenha x+1<0. O numerador em x=-1 é 2(-1)+1=-1 (negativo). Então numerador \approx negativo, denominador negativo \Rightarrow quociente positivo grande, logo
\lim_{x\to-1^{-}}f(x)=+\infty.
  • Para x\to-1^{+} (chegando por valores maiores que -1), x+1>0 e numerador continua \approx-1 (negativo), então quociente negativo grande, logo
\lim_{x\to-1^{+}}f(x)=-\infty.
Como pelo menos um dos limites laterais diverge para infinito, x=-1 é uma assíntota vertical. (Os sinais opostos indicam comportamento diferente de cada lado.)

Passo 5

O que é uma assíntota horizontal e como encontrá-la (aula rápida e prática).
  • Definição: y=L é assíntota horizontal se \lim_{x\to\infty}f(x)=L ou \lim_{x\to-\infty}f(x)=L. Pode haver uma assíntota horizontal para +\infty, para -\infty, ou ambas com o mesmo L.
  • Regra prática para funções racionais: comparar os graus dos polinômios no numerador e denominador.
    • Se grau(numerador) < grau(denominador) então y=0.
    • Se grau(numerador) = grau(denominador) então y= razão dos coeficientes líderes.
    • Se grau(numerador) > grau(denominador) por exatamente 1, há uma assíntota oblíqua (reta inclinada). Se for maior por mais de 1, comportamento cresce sem assíntota linear simples.
Na função dada, ambos numerador e denominador têm grau 2. Portanto a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes: coeficiente líder do numerador é 2 e do denominador é 1. Logo a assíntota horizontal é
y=\frac{2}{1}=2.

Passo 6

Confirmação via limites no infinito (pra ficar bem seguro):
  • Calcule
\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{2x^{2}-x-1}{x^{2}-1}.
Dividindo numerador e denominador por x^{2} (técnica padrão):
\lim_{x\to\infty}\frac{2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}= \frac{2-0-0}{1-0}=2.
  • O mesmo vale para x\to-\infty:
\lim_{x\to-\infty}f(x)=2.
Portanto a assíntota horizontal é y=2 tanto à direita quanto à esquerda.

Passo 7

Resumo do que encontramos (sem repetir justificativas longas):
  • Há um buraco (descontinuidade removível) em x=1 com valor limite \dfrac{3}{2}.
  • A única assíntota vertical é x=-1.
  • A assíntota horizontal é y=2.

Resposta

Assíntota horizontal: y=2
Assíntota vertical: x=-1

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