Demonstre que \lim _{x \rightarrow 0^{+}}|x| e^{\operatorname{sen}(\pi / x)}=0

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0^{+}} |x|\,e^{\operatorname{sen}(\pi/x)}.
Informações importantes que temos do enunciado:
  • A expressão envolve |x| e e^{\operatorname{sen}(\pi/x)}.
  • A aproximação é pela direita em x\to 0^{+}, ou seja, consideramos x>0 tendendo a zero.
  • Para x>0 pequeno vale |x| = x.
  • A função \operatorname{sen} (seno) tem valores sempre entre -1 e 1: para todo t\in\mathbb{R} vale -1 \le \operatorname{sen}(t) \le 1.

Passo 2

Usando a propriedade do seno com t=\pi/x (isso vale para qualquer argumento),
-1 \le \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right) \le 1.
A função exponencial t\mapsto e^{t} é estritamente crescente, portanto se a\le b então e^{a}\le e^{b}. Aplicando e^{(\cdot)} à desigualdade acima obtemos
e^{-1} \le e^{\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right)} \le e^{1}.

Passo 3

Como estamos tomando x\to 0^{+}, temos x>0 e portanto podemos multiplicar as desigualdades por x sem inverter sinais. Substituindo |x|=x e multiplicando,
x e^{-1} \le x\,e^{\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right)} \le x e^{1}.

Passo 4

Agora vamos analisar os limites das funções que aparecem nas extremidades do aperto. São constantes multiplicadas por x, e sabemos que \lim_{x\to 0^{+}} x = 0. Portanto
\lim_{x\to 0^{+}} x e^{-1} = e^{-1}\cdot 0 = 0, \qquad \lim_{x\to 0^{+}} x e^{1} = e^{1}\cdot 0 = 0.

Passo 5

Pelo Teorema do Aperto (teorema da compressão / squeeze theorem): se uma função g(x) satisfaz
f(x)\le g(x)\le h(x)
numa vizinhança de 0 (exceto possivelmente em 0) e \lim f(x)=\lim h(x)=L, então \lim g(x)=L. Aqui g(x)=x\,e^{\operatorname{sen}(\pi/x)}, f(x)=x e^{-1} e h(x)=x e^{1}, e ambos f e h têm limite 0 quando x\to 0^{+}. Logo
\lim_{x\to 0^{+}} x\,e^{\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right)} = 0.

Passo 6

Relembrando que para x\to 0^{+} temos |x|=x, concluímos que o limite pedido é 0. Dá para enxergar intuitivamente: e^{\operatorname{sen}(\pi/x)} é sempre um número entre e^{-1} e e (ou seja, permanece limitado), enquanto |x| tende a zero; produto de uma quantidade limitada por algo que vai a zero tende a zero.

Resposta

0

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