Demonstre que
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações importantes que temos do enunciado:
- A expressão envolve
e . - A aproximação é pela direita em
, ou seja, consideramos tendendo a zero. - Para
pequeno vale . - A função
(seno) tem valores sempre entre e : para todo vale .
Passo 2
Usando a propriedade do seno com
(isso vale para qualquer argumento),
A função exponencial
é estritamente crescente, portanto se
então
. Aplicando
à desigualdade acima obtemos
Passo 3
Como estamos tomando
, temos
e portanto podemos multiplicar as desigualdades por
sem inverter sinais. Substituindo
e multiplicando,
Passo 4
Agora vamos analisar os limites das funções que aparecem nas extremidades do aperto. São constantes multiplicadas por
, e sabemos que
. Portanto
Passo 5
Pelo Teorema do Aperto (teorema da compressão / squeeze theorem): se uma função
satisfaz
numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
) e
, então
. Aqui
,
e
, e ambos
e
têm limite
quando
. Logo
Passo 6
Relembrando que para
temos
, concluímos que o limite pedido é
. Dá para enxergar intuitivamente:
é sempre um número entre
e
(ou seja, permanece limitado), enquanto
tende a zero; produto de uma quantidade limitada por algo que vai a zero tende a zero.
Resposta
0