A função considerada é f(x)=x^{6}\cos\!\left(\dfrac{2}{x}\right) (note que \cos recebe o argumento \dfrac{2}{x}).
O limite é tomado quando x tende a 0 (pela direita e pela esquerda).
Não há valor dado para f(0); interessa apenas o comportamento quando x aproxima-se de 0.
Passo 2
Observação básica sobre a função cosseno (essa é uma propriedade que vamos usar): para todo número real t vale
-1 \le \cos(t) \le 1.
Isto é verdade porque a imagem da função cosseno é o intervalo [-1,1]. Aqui o argumento é t=\dfrac{2}{x}, mas a propriedade vale para qualquer t, em particular para t=\dfrac{2}{x}.
Passo 3
Multiplicamos a desigualdade anterior pelo fator x^{6}. Antes de multiplicar, precisamos notar que x^{6}\ge 0 para todo x, pois é uma potência de expoente par. Assim a desigualdade é preservada ao multiplicar por x^{6}, obtendo
Isto é útil porque reduz o problema a estudar o comportamento de x^{6} quando x\to 0.
Passo 5
Avaliar o limite das funções que aparecem nas desigualdades. Sabemos que para qualquer inteiro n>0
\lim_{x\to 0} x^{n} = 0.
No caso n=6 obtemos
\lim_{x\to 0} x^{6} = 0.
Essa propriedade decorre do fato de que qualquer potência positiva de x tende a 0 quando x tende a 0; formalmente pode-se justificar por razões de continuidade da função x\mapsto x^{6} ou por estimativas simples com desigualdades envolvendo |x|.
Passo 6
Aplicamos o Teorema do Confronto (Teorema do Aperto / Squeeze Theorem). Vou enunciar de forma simples:
sejam g(x), f(x), h(x) tais que g(x)\le f(x)\le h(x) numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e se
\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x) = L,
então
\lim_{x\to a} f(x) = L.
Aqui podemos tomar g(x)=-x^{6}, f(x)=x^{6}\cos\!\left(\dfrac{2}{x}\right) e h(x)=x^{6}. Pelas desigualdades dos passos anteriores temos g(x)\le f(x)\le h(x) e pelos limites do passo 5 temos \lim_{x\to 0} g(x)=\lim_{x\to 0} h(x)=0. Portanto, pelo Teorema do Confronto,