Demonstre que \lim _{x \rightarrow 0} x^{6} \cos \left(\frac{2}{x}\right)=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
\lim_{x \rightarrow 0} x^{6}\cos\!\left(\frac{2}{x}\right).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função considerada é f(x)=x^{6}\cos\!\left(\dfrac{2}{x}\right) (note que \cos recebe o argumento \dfrac{2}{x}).
  • O limite é tomado quando x tende a 0 (pela direita e pela esquerda).
  • Não há valor dado para f(0); interessa apenas o comportamento quando x aproxima-se de 0.

Passo 2

Observação básica sobre a função cosseno (essa é uma propriedade que vamos usar): para todo número real t vale
-1 \le \cos(t) \le 1.
Isto é verdade porque a imagem da função cosseno é o intervalo [-1,1]. Aqui o argumento é t=\dfrac{2}{x}, mas a propriedade vale para qualquer t, em particular para t=\dfrac{2}{x}.

Passo 3

Multiplicamos a desigualdade anterior pelo fator x^{6}. Antes de multiplicar, precisamos notar que x^{6}\ge 0 para todo x, pois é uma potência de expoente par. Assim a desigualdade é preservada ao multiplicar por x^{6}, obtendo
- x^{6} \le x^{6}\cos\!\left(\frac{2}{x}\right) \le x^{6}.
Essa desigualdade vale para todo x\neq 0 (e também para x=0, se quisermos estender os lados, já que x^{6}=0 em x=0).

Passo 4

Interpretação em termos de valor absoluto: a desigualdade do passo anterior é equivalente a
\left|x^{6}\cos\!\left(\frac{2}{x}\right)\right| \le x^{6}.
Isto é útil porque reduz o problema a estudar o comportamento de x^{6} quando x\to 0.

Passo 5

Avaliar o limite das funções que aparecem nas desigualdades. Sabemos que para qualquer inteiro n>0
\lim_{x\to 0} x^{n} = 0.
No caso n=6 obtemos
\lim_{x\to 0} x^{6} = 0.
Essa propriedade decorre do fato de que qualquer potência positiva de x tende a 0 quando x tende a 0; formalmente pode-se justificar por razões de continuidade da função x\mapsto x^{6} ou por estimativas simples com desigualdades envolvendo |x|.

Passo 6

Aplicamos o Teorema do Confronto (Teorema do Aperto / Squeeze Theorem). Vou enunciar de forma simples:
sejam g(x), f(x), h(x) tais que g(x)\le f(x)\le h(x) numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e se
\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x) = L,
então
\lim_{x\to a} f(x) = L.
Aqui podemos tomar g(x)=-x^{6}, f(x)=x^{6}\cos\!\left(\dfrac{2}{x}\right) e h(x)=x^{6}. Pelas desigualdades dos passos anteriores temos g(x)\le f(x)\le h(x) e pelos limites do passo 5 temos \lim_{x\to 0} g(x)=\lim_{x\to 0} h(x)=0. Portanto, pelo Teorema do Confronto,
\lim_{x\to 0} x^{6}\cos\!\left(\frac{2}{x}\right)=0.

Passo 7

Resumo didático rápido (para levar para a prova):
  • Use que \cos é limitada por -1 e 1.
  • Multiplique por x^{6} (positivo), obtendo função presa entre -x^{6} e x^{6}.
  • Como x^{6}\to 0 quando x\to 0, pelo Teorema do Confronto a função original também tende a 0.

Resposta

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