Questão 2 (Valor: 5 pts) Determine se a sequência dada c crescente, decrescente ou nāomonótona.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se ela é crescente, decrescente ou não-monótona. Informações relevantes:
- O termo geral é
. -
é um inteiro positivo, isto é, e normalmente . - A pergunta é: a sequência é crescente, decrescente ou não-monótona?
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de sequência decrescente e crescente (do jeito prático que aparece em prova).
- A sequência
é (estritamente) decrescente se, para todo suficientemente grande (ou para todo ), vale
- A sequência
é (estritamente) crescente se, para todo ,
Essas definições usam comparação termo a termo. Nosso objetivo será mostrar qual das duas desigualdades vale para
.
Passo 3
Vamos ver alguns termos para ganhar intuição (apenas para sentir a sequência; isso não substitui prova):
Os valores mostram que os termos vão ficando menores quando
aumenta — isso sugere que a sequência é decrescente.
Passo 4
Agora a prova algébrica: queremos mostrar que, para todo
,
Como
e
são números positivos, podemos multiplicar a desigualdade pelos dois sem mudar o sentido. Multiplicando ambos os lados por
obtemos a equivalente
Passo 5
Justificativa final dessa última desigualdade: como
e a função
é crescente para argumentos positivos, tem-se
. Alternativamente, elevando ambos os lados ao quadrado (operações válidas para números não negativos) dá
o que confirma
. Logo a desigualdade do Passo 4 vale para todo
.
Passo 6
Concluímos que, para todo
,
ou seja, a sequência é estritamente decrescente. (Observação adicional rápida: todos os termos são positivos e estão limitados inferiormente por
, e de fato
quando
, mas isso não era pedido — só um bônus.)
Resposta
Decrescente (estritamente decrescente).