Questão 2 (Valor: 5 pts) Determine se a sequência dada c crescente, decrescente ou nāomonótona.
\left\{\frac{1}{\sqrt{n}}\right\}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left\{\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right\} e pede para determinar se ela é crescente, decrescente ou não-monótona. Informações relevantes:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}.
  • n é um inteiro positivo, isto é, n\in\mathbb{N} e normalmente n\ge 1.
  • A pergunta é: a sequência é crescente, decrescente ou não-monótona?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de sequência decrescente e crescente (do jeito prático que aparece em prova).
  • A sequência \{a_n\} é (estritamente) decrescente se, para todo n suficientemente grande (ou para todo n\ge1), vale
a_{n+1}<a_n.
  • A sequência \{a_n\} é (estritamente) crescente se, para todo n,
a_{n+1}>a_n.
Essas definições usam comparação termo a termo. Nosso objetivo será mostrar qual das duas desigualdades vale para a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}.

Passo 3

Vamos ver alguns termos para ganhar intuição (apenas para sentir a sequência; isso não substitui prova):
a_1=\dfrac{1}{\sqrt{1}}=1,\qquad a_2=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx0{,}707,\qquad a_3=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx0{,}577,\qquad a_4=\dfrac{1}{\sqrt{4}}=0{,}5.
Os valores mostram que os termos vão ficando menores quando n aumenta — isso sugere que a sequência é decrescente.

Passo 4

Agora a prova algébrica: queremos mostrar que, para todo n\ge1,
\frac{1}{\sqrt{n+1}}<\frac{1}{\sqrt{n}}.
Como \sqrt{n} e \sqrt{n+1} são números positivos, podemos multiplicar a desigualdade pelos dois sem mudar o sentido. Multiplicando ambos os lados por \sqrt{n}\sqrt{n+1} obtemos a equivalente
\sqrt{n}<\sqrt{n+1}.

Passo 5

Justificativa final dessa última desigualdade: como n<n+1 e a função \sqrt{\cdot} é crescente para argumentos positivos, tem-se \sqrt{n}<\sqrt{n+1}. Alternativamente, elevando ambos os lados ao quadrado (operações válidas para números não negativos) dá
(\sqrt{n})^2=n<n+1=(\sqrt{n+1})^2,
o que confirma \sqrt{n}<\sqrt{n+1}. Logo a desigualdade do Passo 4 vale para todo n\ge1.

Passo 6

Concluímos que, para todo n\ge1,
a_{n+1}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}<\dfrac{1}{\sqrt{n}}=a_n,
ou seja, a sequência é estritamente decrescente. (Observação adicional rápida: todos os termos são positivos e estão limitados inferiormente por 0, e de fato a_n\to0 quando n\to\infty, mas isso não era pedido — só um bônus.)

Resposta

Decrescente (estritamente decrescente).

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