Demonstre que:
lim x 0 tg x / x=1

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar
limxto 0tan xx=1
O conteúdo central é cálculo de limites de funções trigonométricas usando o Teorema do Confronto e propriedades de limites (produtos e quocientes). Para isso, vamos usar como “sub-lema” o fato de que
limxto 0sin xx=1
e a continuidade de cos x em 0.

Passo 2

Demonstração de limxto 0sin xx=1 pelo Teorema do Confronto.
Para xin(0,tfracpi2) vale a desigualdade geométrica no círculo de raio 1:
sin x < x < tan x
Como tan x=sin xcos x, a segunda parte x<tan x equivale a
cos x < sin xx
Portanto, para xin(0,tfracpi2) temos
cos x ;<;sin xx;<;1
Como limxto0cos x=1, pelo Teorema do Confronto segue
limxto0sin xx=1
Para x<0 a função sin x/x é par, então o limite bilateral em 0 também vale 1.

Passo 3

Agora escrevemos
tan xx ;=;sin xx;cdot;1cos x
Sabemos que
limxto0sin xx=1
e como cos xto1 em xto0, também
limxto01cos x=11=1.
Pelo teorema do produto de limites segue
limxto0tan xx =;1cdot1 =;1

Resposta

limxto 0tan xx=1

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