Demonstre que:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar
O conteúdo central é cálculo de limites de funções trigonométricas usando o Teorema do Confronto e propriedades de limites (produtos e quocientes). Para isso, vamos usar como “sub-lema” o fato de que
e a continuidade de
em
.
Passo 2
Demonstração de
pelo Teorema do Confronto.
Para vale a desigualdade geométrica no círculo de raio 1:
Para
Como
, a segunda parte
equivale a
Portanto, para
temos
Como
, pelo Teorema do Confronto segue
Para
a função
é par, então o limite bilateral em
também vale 1.
Passo 3
Agora escrevemos
Sabemos que
e como em
, também
.
Pelo teorema do produto de limites segue
e como
Pelo teorema do produto de limites segue