[1,0 pt.] 2) Determine se existem pontos sobre o hiperbolóide
onde o plano tangente é paralelo ao plano
. Se existirem, determine os pontos.
Passo 1
O enunciado pede os pontos
do hiperbolóide
para os quais o plano tangente é paralelo ao plano
O conteúdo que vamos usar é que o vetor gradiente de
é normal ao plano tangente em cada ponto da superfície
. Como queremos paralelismo entre planos, igualamos a direção desse gradiente à direção do vetor normal
do plano dado.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
Esse vetor é normal ao plano tangente em
. Para que o plano tangente seja paralelo ao plano
, precisamos de
ou seja, existindo
tal que
Passo 3
Da igualdade de componentes vetoriais obtemos o sistema
Dessas equações segue
Passo 4
Como
deve satisfazer o hiperbolóide, substituímos em
os valores em função de
:
Logo
Passo 5
Isso gera dois pontos, substituindo em
:
Resposta
Os pontos são