[1,0 pt.] 2) Determine se existem pontos sobre o hiperbolóide x^2-y^2+3 z^2=1 onde o plano tangente é paralelo ao plano 2 x+y+3 z=1. Se existirem, determine os pontos.

Passo 1

O enunciado pede os pontos (x,y,z) do hiperbolóide
x^2-y^2+3z^2=1
para os quais o plano tangente é paralelo ao plano
2x + y + 3z = 1
O conteúdo que vamos usar é que o vetor gradiente de
F(x,y,z)=x^2-y^2+3z^2-1
é normal ao plano tangente em cada ponto da superfície F=0. Como queremos paralelismo entre planos, igualamos a direção desse gradiente à direção do vetor normal (2,1,3) do plano dado.

Passo 2

Calculamos o gradiente de F:
nabla F(x,y,z) = l(2x,,-2y,;6zr)
Esse vetor é normal ao plano tangente em (x,y,z). Para que o plano tangente seja paralelo ao plano 2x+y+3z=1, precisamos de
nabla F(x,y,z) paral<=l (2,1,3),
ou seja, existindo lambdaneq0 tal que
(2x,,-2y,;6z) = lambda,(2,1,3)

Passo 3

Da igualdade de componentes vetoriais obtemos o sistema
2x = 2lambda, -2y = lambda, 6z = 3lambda
Dessas equações segue
x = lambda, y = -tfraclambda2, z = tfraclambda2

Passo 4

Como (x,y,z) deve satisfazer o hiperbolóide, substituímos em
x^2-y^2+3z^2=1
os valores em função de lambda:
lambda^2 - l(-tfraclambda2r)^2 + 3l(tfraclambda2r)^2 = lambda^2 - tfraclambda^24 + 3,tfraclambda^24 = lambda^2 + tfraclambda^22 = tfrac3lambda^22 =1
Logo
lambda^2 = tfrac23 Longrightarrow lambda = pmraiztfrac23

Passo 5

Isso gera dois pontos, substituindo em l(lambda,,-tfraclambda2,,tfraclambda2r):
P1 = l(raiztfrac23,, -tfrac12raiztfrac23,, tfrac12raiztfrac23r), P2 = l(-raiztfrac23,, tfrac12raiztfrac23,, -tfrac12raiztfrac23r)

Resposta

Os pontos são
l(pmraiztfrac23,,mptfrac12raiztfrac23,,pmtfrac12raiztfrac23r)

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