Demonstre, matematicamente, que a tensão normal atuando no plano onde age a tensão máxima de cisalhamento em um estado de tração uniaxial ( \sigma_{1}= 60 MPa ) é igual a \sigma=\frac{\sigma_{1}}{2}.

Passo 1

O enunciado descreve um estado de tração uniaxial em que os esforços principais são
\sigma_{1}=60\text{ MPa},\qquad \sigma_{2}=0,\qquad \tau_{12}=0.
Queremos mostrar que, no plano onde a tensão de cisalhamento é máxima, a tensão normal vale
\sigma_n=\sigma_{1}/2.
O conteúdo usado será a transformação de tensões em 2D (ou o círculo de Mohr).

Passo 2

A fórmula geral para a tensão normal num plano que faz ângulo \alpha com o eixo x (onde atuam \sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}) é
\sigma_n = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\alpha + \tau_{xy}\,\sin2\alpha.
No nosso caso, \sigma_x=\sigma_{1}=60\text{ MPa}, \sigma_y=0, \tau_{xy}=0. Logo
\sigma_n = \frac{60+0}{2} + \frac{60-0}{2}\cos2\alpha =30 + 30\cos2\alpha.

Passo 3

A tensão de cisalhamento no mesmo plano é
\tau_n = -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\,\sin2\alpha = -30\sin2\alpha.
Para que |\tau_n| seja máxima, precisamos de \bigl|\sin2\alpha\bigr|=1, ou seja
2\alpha = 90^\circ \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 45^\circ.

Passo 4

Substituindo \alpha=45^\circ em \sigma_n=30+30\cos2\alpha, temos
\sigma_n = 30 + 30\cos90^\circ = 30 + 30\cdot0 = 30\text{ MPa}.
Como \sigma_{1}=60\text{ MPa}, segue que
\sigma_n = \frac{\sigma_{1}}{2}.

Resposta

A tensão normal no plano de cisalhamento máximo é
\sigma_n = \frac{\sigma_{1}}{2}.

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