Durante a análise de um componente submetido a um estado plano de tensões, observou-se que a máxima tensão de cisalhamento ocorre em um plano inclinado em relação às direções principais.
Explique:
a) Por que a tensão de cisalhamento é máxima em planos inclinados a \mathbf{4 5}^{\circ} \mathbf{~ e m} relação aos planos principais;
b) Como essa condição influencia o modo de falha de materiais dúcteis e frágeis;
c) Equal a implicação prática desse conhecimento no projeto de componentes mecânicos.

Passo 1

O enunciado trata de um estado plano de tensões, em que atuam duas tensões principais \sigma_1 e \sigma_2 em direções ortogonais, sem cisalhamento nessas direções. Queremos entender por que a tensão de cisalhamento \tau atinge seu valor máximo em planos girados de 45^\circ em relação aos planos principais, como isso afeta modos de falha em materiais dúcteis e frágeis e qual a utilidade prática disso no projeto mecânico.

Passo 2

Para qualquer plano inclinado de ângulo \theta em relação à direção da tensão \sigma_x, a tensão de cisalhamento naquele plano é dada por
\tau(\theta)=\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\,\sin2\theta + \tau_{xy}\,\cos2\theta.
No nosso caso de tensões principais, \tau_{xy}=0 e \sigma_x=\sigma_1, \sigma_y=\sigma_2. Logo
\tau(\theta)=\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}\,\sin2\theta.
Para que \tau(\theta) seja máximo em valor absoluto, precisamos de \sin2\theta=\pm1, isto é
2\theta=90^\circ\quad\Longrightarrow\quad \theta=45^\circ.
Nesse ângulo a tensão de cisalhamento máxima vale
\tau_{\max}=\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}.

Passo 3

Em materiais dúcteis, a deformação plástica inicia sob ação de cisalhamento intenso. Como \tau_{\max} ocorre em planos a 45^\circ, as fissuras ou canais de escoamento plástico surgem tipicamente nessas direções, levando a um tipo de falha por deslizamento (modo de clivagem de cisalhamento).
Em materiais frágeis, a falha é comandada pela tensão normal máxima (tração), que atua nos planos normais a \sigma_1. Assim, a fratura ocorre perpendicular à direção de \sigma_1, ou seja, sem seguir o plano de máximo cisalhamento.

Passo 4

No projeto de componentes mecânicos, esse conhecimento leva a:
  1. Orientar fibras, reforços ou chapas de maneira a minimizar planos a 45^\circ quando se espera grande cisalhamento (por exemplo, usar ângulos de reforço em compostos);
  2. Posicionar furos, entalhes e roscas de modo a não criar concentrações de cisalhamento nesses planos críticos;
  3. Escolher tratamentos térmicos ou de superfície para aumentar a resistência ao cisalhamento, reduzindo a chance de escoamento ou fadiga ao longo de 45^\circ.

Resposta

a) Porque a transformação de tensões dá \tau(\theta)=\tfrac{\sigma_1-\sigma_2}{2}\sin2\theta, máximo para \sin2\theta=1, logo \theta=45^\circ.
b) Materiais dúcteis falham por cisalhamento e, assim, escoam/fissuram a 45^\circ; materiais frágeis falham por tração máxima e se fraturam perpendicular a \sigma_1.
c) No projeto, evitam-se planos de cisalhamento a 45^\circ via orientação de reforços, posicionamento de entalhes e tratamentos que aumentem resistência ao cisalhamento.

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