Demonstre que
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a desigualdade
onde
é a função soma dos divisores positivos de
. Vou assumir que
é um inteiro positivo (
). As perguntas implícitas são: (i) provar que a soma dos divisores de
é pelo menos
; (ii) provar que essa soma é no máximo
.
Passo 2
Definição e ideia para a primeira desigualdade. Por definição,
ou seja, soma de todos os divisores positivos
de
. Como
divide a si mesmo, temos que
é um dos termos dessa soma. Logo a soma tem pelo menos o termo
, portanto
Explicando devagar: a soma
contém
e possivelmente outros números positivos, então não pode ser menor que
. Exemplo rápido:
tem divisores
e
.
Passo 3
Idéia para a segunda desigualdade. Todo divisor positivo
de
satisfaz
. Portanto o conjunto dos divisores de
é um subconjunto de
. Assim a soma dos divisores é no máximo a soma de todos os números de
até
:
Passo 4
Cálculo da soma dos primeiros
inteiros. A soma triangular clássica vale
(Justificação curta: pareando termos
obtém-se
pares com soma
, daí
.)
Portanto, a partir do passo anterior,
Passo 5
Comparar
com
. Observe que, para
,
porque isso equivale a
e
é verdadeiro para todo
(ou ver a diferença
). Combinando com o passo anterior obtemos
Passo 6
Conclusão combinando os resultados dos passos 2 e 5:
Como observação final: as desigualdades são, em geral, estritas para
. Por exemplo, a igualdade à esquerda só ocorre em
, e a igualdade à direita também só ocorre em
.