Demonstre que \mathrm{n} \leq \sigma(\mathrm{n}) \leq \mathrm{n}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a desigualdade
\mathrm{n}\le \sigma(\mathrm{n}) \le \mathrm{n}^{2},
onde \sigma(\mathrm{n}) é a função soma dos divisores positivos de \mathrm{n}. Vou assumir que \mathrm{n} é um inteiro positivo ( \mathrm{n}\ge 1). As perguntas implícitas são: (i) provar que a soma dos divisores de \mathrm{n} é pelo menos \mathrm{n}; (ii) provar que essa soma é no máximo \mathrm{n}^{2}.

Passo 2

Definição e ideia para a primeira desigualdade. Por definição,
\sigma(\mathrm{n})=\sum_{d\mid \mathrm{n}} d,
ou seja, soma de todos os divisores positivos d de \mathrm{n}. Como \mathrm{n} divide a si mesmo, temos que \mathrm{n} é um dos termos dessa soma. Logo a soma tem pelo menos o termo \mathrm{n}, portanto
\sigma(\mathrm{n})\ge \mathrm{n}.
Explicando devagar: a soma \sigma(\mathrm{n}) contém \mathrm{n} e possivelmente outros números positivos, então não pode ser menor que \mathrm{n}. Exemplo rápido: \mathrm{n}=12 tem divisores 1,2,3,4,6,12 e \sigma(12)=28\ge 12.

Passo 3

Idéia para a segunda desigualdade. Todo divisor positivo d de \mathrm{n} satisfaz 1\le d\le \mathrm{n}. Portanto o conjunto dos divisores de \mathrm{n} é um subconjunto de \{1,2,\dots,\mathrm{n}\}. Assim a soma dos divisores é no máximo a soma de todos os números de 1 até \mathrm{n}:
\sigma(\mathrm{n}) \le \sum_{k=1}^{\mathrm{n}} k.

Passo 4

Cálculo da soma dos primeiros \mathrm{n} inteiros. A soma triangular clássica vale
\sum_{k=1}^{\mathrm{n}} k = \frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}.
(Justificação curta: pareando termos 1+\mathrm{n},2+(\mathrm{n}-1),\dots obtém-se \mathrm{n}/2 pares com soma \mathrm{n}+1, daí \mathrm{n}(\mathrm{n}+1)/2.)
Portanto, a partir do passo anterior,
\sigma(\mathrm{n}) \le \frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}.

Passo 5

Comparar \dfrac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2} com \mathrm{n}^{2}. Observe que, para \mathrm{n}\ge 1,
\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}\le \mathrm{n}^{2}
porque isso equivale a
\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)\le 2\mathrm{n}^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{n}+1\le 2\mathrm{n},
e \mathrm{n}+1\le 2\mathrm{n} é verdadeiro para todo \mathrm{n}\ge 1 (ou ver a diferença \mathrm{n}^{2}-\dfrac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}=\dfrac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{2}\ge 0). Combinando com o passo anterior obtemos
\sigma(\mathrm{n}) \le \frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2} \le \mathrm{n}^{2}.

Passo 6

Conclusão combinando os resultados dos passos 2 e 5:
\mathrm{n}\le \sigma(\mathrm{n}) \le \mathrm{n}^{2}.
Como observação final: as desigualdades são, em geral, estritas para \mathrm{n}>1. Por exemplo, a igualdade à esquerda só ocorre em \mathrm{n}=1, e a igualdade à direita também só ocorre em \mathrm{n}=1.

Resposta

\mathrm{n}\le \sigma(\mathrm{n}) \le \mathrm{n}^{2}

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