Mostrar que existem infinitos inteiros m para os quais 10 \mid \varphi(m). (Sugestão: \varphi(11)=10 ).

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que existem infinitos inteiros m tais que 10 \mid \varphi(m). A sugestão dá uma informação numérica útil: \varphi(11)=10.
Informações relevantes fornecidas:
  • Queremos infinitos inteiros m com 10 dividindo \varphi(m).
  • Foi fornecido que \varphi(11)=10.

Passo 2

Primeiro: o que é \varphi(n)? Vou explicar de forma bem simples.
\varphi(n) (função totiente de Euler) é o número de inteiros 1\le a\le n que são coprimos com n (ou seja, \gcd(a,n)=1). Exemplo concreto: como 11 é primo, todos os inteiros 1,2,\dots,10 são coprimos com 11, então \varphi(11)=10. Isso é justamente a sugestão dada.

Passo 3

Agora precisamos de uma fórmula muito útil para potências de primo. Vou provar e explicar por que vale:
\varphi(p^k)=p^{k}-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1),
onde p é primo e k\ge 1.
Explicação passo a passo:
  • O conjunto \{1,2,\dots,p^k\} tem p^k números no total.
  • Os inteiros nesse intervalo que NÃO são coprimos com p^k são exatamente os múltiplos de p: p,2p,3p,\dots,p^{k}. Quantos há? Há p^{k-1} desses múltiplos (porque p\cdot 1, p\cdot 2,\dots, p\cdot p^{k-1}).
  • Logo, os que são coprimos com p^k são p^k - p^{k-1}.
  • Factorizando, obtemos \varphi(p^k)=p^{k-1}(p-1).
Isso é uma fórmula básica e muito útil — memorize-a: para potência de primo, \varphi(p^k)=p^{k-1}(p-1).

Passo 4

Aplicando a fórmula com p=11: para todo k\ge 1,
\varphi(11^k)=11^{k-1}(11-1)=11^{k-1}\cdot10.
Esse produto tem claramente um fator 10, portanto \varphi(11^k) é divisível por 10 para todo k\ge 1.
Para ver alguns exemplos concretos (só para fixar a ideia):
  • k=1:\\ \varphi(11)=10.
  • k=2:\\ \varphi(121)=11\cdot10=110.
  • k=3:\\ \varphi(1331)=11^2\cdot10=1210.
    Todos esses valores são múltiplos de 10.

Passo 5

Conclusão lógica e final: os números m=11^k são todos distintos quando k varia por 1,2,3,\dots, e para cada um deles vale 10\mid\varphi(m). Como há infinitos expoentes k, obtém-se infinitos inteiros m com a propriedade desejada.
Força aí — a construção é simples e elegante: a sugestão \varphi(11)=10 já sugeria usar potências de 11.

Resposta

m=11^k para todo k\ge 1 (pois \varphi(11^k)=11^{k-1}\cdot10, logo 10\mid\varphi(11^k)).

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