Mostrar que existem infinitos inteiros
para os quais
. (Sugestão:
).
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que existem infinitos inteiros
tais que
. A sugestão dá uma informação numérica útil:
.
Informações relevantes fornecidas:
- Queremos infinitos inteiros
com dividindo . - Foi fornecido que
.
Passo 2
Primeiro: o que é
? Vou explicar de forma bem simples.
(função totiente de Euler) é o número de inteiros
que são coprimos com
(ou seja,
). Exemplo concreto: como
é primo, todos os inteiros
são coprimos com
, então
. Isso é justamente a sugestão dada.
Passo 3
Agora precisamos de uma fórmula muito útil para potências de primo. Vou provar e explicar por que vale:
onde
é primo e
.
Explicação passo a passo:
- O conjunto
tem números no total. - Os inteiros nesse intervalo que NÃO são coprimos com
são exatamente os múltiplos de : . Quantos há? Há desses múltiplos (porque ). - Logo, os que são coprimos com
são . - Factorizando, obtemos
.
Isso é uma fórmula básica e muito útil — memorize-a: para potência de primo,
.
Passo 4
Aplicando a fórmula com
: para todo
,
Esse produto tem claramente um fator
, portanto
é divisível por
para todo
.
Para ver alguns exemplos concretos (só para fixar a ideia):
-
. -
. -
.
Todos esses valores são múltiplos de.
Passo 5
Conclusão lógica e final: os números
são todos distintos quando
varia por
, e para cada um deles vale
. Como há infinitos expoentes
, obtém-se infinitos inteiros
com a propriedade desejada.
Força aí — a construção é simples e elegante: a sugestão
já sugeria usar potências de
.