Mostre que, se f(n) e g(n) são funções aritméticas multiplicativas, então a função aritmética \mathrm{h}(\mathrm{n})=\mathrm{f}(\mathrm{n}) \mathrm{g}(\mathrm{n}) também é multiplicativa.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a demonstração solicitada:
  • São dadas duas funções aritméticas f(n) e g(n) que são multiplicativas.
  • Define-se a função h(n)=f(n)\,g(n) para todo inteiro positivo n.
    O que se pede: mostrar que a função aritmética h também é multiplicativa, isto é, provar que
h(1)=1 \quad\text{e}\quad h(mn)=h(m)\,h(n)\\ \text{sempre que}\\ \gcd(m,n)=1.

Passo 2

Primeiro vou lembrar e explicar cuidadosamente o que significa cada termo (para você poder usar isso na prova):
  • Uma função aritmética é simplesmente uma função definida em inteiros positivos: n\mapsto f(n).
  • A função f é chamada multiplicativa quando satisfaz duas coisas:
    1. \;f(1)=1\;.
    2. Para quaisquer inteiros positivos m,n com \gcd(m,n)=1, vale f(mn)=f(m)\,f(n).
    Essa condição usa a coprimalidade porque, para fatores com fatores primos em comum, a igualdade pode falhar.
  • Existe também o conceito de função completamente multiplicativa: aí a identidade \;f(mn)=f(m)f(n)\; vale para todos m,n, mesmo sem \gcd(m,n)=1. Mas aqui só precisamos da noção usual (multiplicativa).
Vou usar exatamente essas propriedades de f e g na demonstração.

Passo 3

Verifico primeiro o caso n=1. Como f e g são multiplicativas, ambas satisfazem f(1)=1 e g(1)=1. Então, definindo h(1)=f(1)g(1), segue que
h(1)=f(1)\,g(1)=1\cdot 1=1.
Essa verificação é necessária porque a definição de multiplicativa inclui a condição em 1.

Passo 4

Agora mostro a propriedade multiplicativa para m e n coprimos. Se \gcd(m,n)=1, pelas hipóteses de que f e g são multiplicativas temos:
f(mn)=f(m)\,f(n) \quad\text{e}\quad g(mn)=g(m)\,g(n).
Multiplicando essas duas igualdades membro a membro, obtemos
f(mn)\,g(mn)=\bigl(f(m)\,f(n)\bigr)\bigl(g(m)\,g(n)\bigr).
Agrupando os fatores no lado direito:
f(mn)\,g(mn)=\bigl(f(m)\,g(m)\bigr)\bigl(f(n)\,g(n)\bigr).
Pelo modo como definimos h, isto é exatamente
h(mn)=h(m)\,h(n).
Portanto, a propriedade multiplicativa (para argumentos coprimos) está comprovada.

Passo 5

Resumo pedagógico do argumento, bem mastigado para prova: usamos apenas as duas propriedades básicas de f e g (valores iguais a 1 em 1 e multiplicatividade sobre pares coprimos). O produto de equalidades leva direto à multiplicatividade de h. Não há passos ocultos nem manipulações avançadas — é uma prova curta por simplesmente multiplicar as identidades disponíveis.
Observação extra (útil na prova ou em exercícios): se f e g forem completamente multiplicativas, o mesmo argumento mostra que h é também completamente multiplicativa, pois a igualdade f(mn)=f(m)f(n) e g(mn)=g(m)g(n) valerá sem precisar da hipótese \gcd(m,n)=1.

Resposta

A função h é multiplicativa, pois h(1)=1 e, para \gcd(m,n)=1, tem-se h(mn)=h(m)h(n).

Exercícios relacionados