Mostre que, se
e
são funções aritméticas multiplicativas, então a função aritmética
também é multiplicativa.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a demonstração solicitada:
- São dadas duas funções aritméticas
e que são multiplicativas. - Define-se a função
para todo inteiro positivo .
O que se pede: mostrar que a função aritméticatambém é multiplicativa, isto é, provar que
Passo 2
Primeiro vou lembrar e explicar cuidadosamente o que significa cada termo (para você poder usar isso na prova):
- Uma função aritmética é simplesmente uma função definida em inteiros positivos:
. - A função
é chamada multiplicativa quando satisfaz duas coisas: -
. - Para quaisquer inteiros positivos
com , vale
-
- Existe também o conceito de função completamente multiplicativa: aí a identidade
vale para todos , mesmo sem . Mas aqui só precisamos da noção usual (multiplicativa).
Vou usar exatamente essas propriedades de
e
na demonstração.
Passo 3
Verifico primeiro o caso
. Como
e
são multiplicativas, ambas satisfazem
e
. Então, definindo
, segue que
Essa verificação é necessária porque a definição de multiplicativa inclui a condição em
.
Passo 4
Agora mostro a propriedade multiplicativa para
e
coprimos. Se
, pelas hipóteses de que
e
são multiplicativas temos:
Multiplicando essas duas igualdades membro a membro, obtemos
Agrupando os fatores no lado direito:
Pelo modo como definimos
, isto é exatamente
Portanto, a propriedade multiplicativa (para argumentos coprimos) está comprovada.
Passo 5
Resumo pedagógico do argumento, bem mastigado para prova: usamos apenas as duas propriedades básicas de
e
(valores iguais a
em
e multiplicatividade sobre pares coprimos). O produto de equalidades leva direto à multiplicatividade de
. Não há passos ocultos nem manipulações avançadas — é uma prova curta por simplesmente multiplicar as identidades disponíveis.
Observação extra (útil na prova ou em exercícios): se e
forem completamente multiplicativas, o mesmo argumento mostra que
é também completamente multiplicativa, pois a igualdade
e
valerá sem precisar da hipótese
.
Observação extra (útil na prova ou em exercícios): se
Resposta
A função
é multiplicativa, pois
e, para
, tem-se
.