Demonstre que:
sendo
o vetor posição e
denominado vetor de onda.
Para uma função vetorial complexa na forma
onde
é independente de
e do tempo
mostre que:
Para uma função vetorial complexa na forma
Passo 1
O enunciado pede pra aplicar operações de cálculo vetorial (gradiente, divergente, Laplaciano e rotacional) na função escalar complexa
e depois numa função vetorial
. Vamos usar regras de derivada de função composta e propriedades da diferencial em relação ao vetor posição
.
Passo 2
Para mostrar o gradiente usamos a regra da cadeia: se
, então
. Aqui
e como
Passo 3
Para o Laplaciano
basta tomar a divergência do resultado anterior:
Passo 4
Substituindo
, vem
Passo 5
Para a função vetorial
com
constante, usamos que
Passo 6
Como
, obtemos
Resposta
As demonstrações finais são
$$\nabla\bigl[e^{i(\omega t-\mathbf{k}\cdot\mathbf{r})}\bigr]=-i\mathbf{k}e^{i(\omega t-\mathbf{k}\cdot\mathbf{r})},\quad
\nabla{2}\bigl[e{i(\omega t-\mathbf{k}\cdot\mathbf{r})}\bigr]=-(\mathbf{k}\cdot\mathbf{k})e^{i(\omega t-\mathbf{k}\cdot\mathbf{r})},$$
e para
$$\nabla\cdot\mathbf{A}=-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{A},\quad
\nabla\times\mathbf{A}=-i\mathbf{k}\times\mathbf{A}.$$