Demonstre que:
nabla[e^i(omega t-k cdot r)]=-i k e^i(omega t-k cdot r) nabla^2[e^i(omega t-k cdot r)]=-k cdot k e^i(omega t-k cdot r)
sendo r=(x, y, z) o vetor posição e A=A0 e^i(omega t-k cdot r) denominado vetor de onda.
Para uma função vetorial complexa na forma
A0
onde r é independente de t e do tempo r nabla cdot A=-i k cdot A nabla times A=-i k times A mostre que:

Passo 1

O enunciado pede pra aplicar operações de cálculo vetorial (gradiente, divergente, Laplaciano e rotacional) na função escalar complexa e^i(omega t - kcdotr) e depois numa função vetorial A = A0 e^i(omega t - kcdotr). Vamos usar regras de derivada de função composta e propriedades da diferencial em relação ao vetor posição r=(x,y,z).

Passo 2

Para mostrar o gradiente usamos a regra da cadeia: se g(r)=i(omega t - kcdotr), então nabla e^g=e^gnabla g. Aqui
nablal[e^i(omega t-kcdotr)r]=e^i(omega t-kcdotr)nablal[i(omega t-kcdotr)r]
e como nabla(omega t)=0 e nabla(-kcdotr)=-k, obtemos
nablal[e^i(omega t-kcdotr)r]=-ik,e^i(omega t-kcdotr)

Passo 3

Para o Laplaciano nabla^2=nablacdotnabla basta tomar a divergência do resultado anterior:
nabla^2e^i(omega t-kcdotr)=nablacdotl(-ike^i(omega t-kcdotr)r)=-ikcdotnabla e^i(omega t-kcdotr)

Passo 4

Substituindo nabla e^i(omega t-kcdotr)=-ike^i(omega t-kcdotr), vem
nabla^2e^i(omega t-kcdotr)=-ikcdotl(-ikr)e^i(omega t-kcdotr)=-(kcdotk)e^i(omega t-kcdotr)

Passo 5

Para a função vetorial A=A0e^i(omega t-kcdotr) com A0 constante, usamos que
nablacdot(A0f)=A0cdotnabla f, nablatimes(A0f)=nabla ftimesA0

Passo 6

Como nabla e^i(omega t-kcdotr)=-ike^i(omega t-kcdotr), obtemos
nablacdotA=A0cdotl(-ike^i(omega t-kcdotr)r)=-ikcdotA,
nablatimesA=l(-ike^i(omega t-kcdotr)r)timesA0=-iktimesA

Resposta

As demonstrações finais são
$$\nabla\bigl[e^{i(\omega t-\mathbf{k}\cdot\mathbf{r})}\bigr]=-i\mathbf{k}e^{i(\omega t-\mathbf{k}\cdot\mathbf{r})},\quad
\nabla{2}\bigl[e{i(\omega t-\mathbf{k}\cdot\mathbf{r})}\bigr]=-(\mathbf{k}\cdot\mathbf{k})e^{i(\omega t-\mathbf{k}\cdot\mathbf{r})},$$
e para nablal[e^i(omega t-kcdotr)r]=-ike^i(omega t-kcdotr), nabla^2l[e^i(omega t-kcdotr)r]=-(kcdotk)e^i(omega t-kcdotr),
$$\nabla\cdot\mathbf{A}=-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{A},\quad
\nabla\times\mathbf{A}=-i\mathbf{k}\times\mathbf{A}.$$

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