13 Dados os vetores abaixo:
E(z, t)=10 cos (omega t-k z) ax-6 sin (omega t-k z) ay H(z, t)=1377(6 sin (omega t-k z) ax+10 cos (omega t-k z) ay)
Note que os vetores não dependem de x, y, ou seja, são constantes em um plano x, y definido para um dado instante (z, t).
a) Encontre representações fasoriais para E e H.
b) Determine o valor médio de E(z, t) times H(z, t), tanto realizando a integral de média dos vetores acima, quanto utilizando as representações fasoriais e os resultados demonstrados na questão anterior.

Passo 1

O enunciado pede para a) determinar as representações fasoriais dos campos elétrico e magnético que variam em ‘z’ e ‘t’ e b) calcular o valor médio do vetor Poynting E(z,t)timesH(z,t), primeiro integrando no domínio do tempo e depois usando fasores e o resultado lang<=Srang<==tfrac12RewidetildeEtimeswidetildeH^*. Vamos precisar entender a relação entre sinais senoidais no tempo e seus fasores, além da definição de média temporal e do produto vetorial.

Passo 2

Para achar o fasor de E(z,t)=10cos(omega t-kz),hat ax-6sin(omega t-kz),hat ay usamos a convenção RewidetildeEe^jomega t:
  • 10cos(omega t-kz) vira componente 10ang<=0.
  • -6sin(omega t-kz)=\Re{6j e^{j(\omega t-kz)}} logo componente j6.
    Assim,
widetildeE(z)=l(10,hat ax + j6,hat ayr)e^-jkz (V/m)

Passo 3

De modo análogo para H(z,t)=tfrac1377l(6sin(omega t-kz),hat ax+10cos(omega t-kz),hat ayr):
  • 6sin(omega t-kz) corresponde ao fasor -j6 no eixo x.
  • 10cos(omega t-kz) corresponde a 10 no eixo y.
    Então,
widetildeH(z)=1377l(-j6,hat ax + 10,hat ayr)e^-jkz(A/m)

Passo 4

Para o cálculo direto da média temporal de S(z,t)=E(z,t)timesH(z,t) fazemos:
EtimesH =1377l[100cos^2(omega t-kz)+36sin^2(omega t-kz)r],hat az
A média em um período T usa lang<=cos^2rang<==lang<=sin^2rang<==1/2, daí
lang<=EtimesHrang<= =1377100+362,hat az =68377,hat az

Passo 5

Usando fasores e lang<=Srang<==tfrac12RewidetildeEtimeswidetildeH^*, temos
widetildeEtimeswidetildeH^* =l(10hat ax+j6hat ayr)times1377l(j6hat ax+10hat ayr)e^-j2kz =136377,hat az
and thus
lang<=Srang<==12136377,hat az=68377,hat az

Resposta

a) widetildeE(z)=l(10,hat ax + j6,hat ayr)e^-jkz, widetildeH(z)=tfrac1377l(-j6,hat ax +10,hat ayr)e^-jkz. b) lang<=EtimesHrang<==dfrac68377,hat az W/m².

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