*14) Dados os vetores em representação fasorial abaixo:
E=[(5+4 i) ax+(3-4 i) ay] e^i(omega t-k z) H=1377 az times E
a) Determine a parte real de E e H. Tome cuidado pois tanto o termo entre colchetes quanto a exponencial são números complexos e a parte real do produto é diferente do produto das partes reais!!
b) Encontre o valor médio de E times H.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em representação fasorial:
E = l[(5+4i)ax + (3-4i)ayr] e^i(omega t - k z), H = 1377,az times E
A matéria envolvida é: conversão de fasor para forma real no domínio do tempo e cálculo do vetor de Poynting médio. Para isso vamos precisar usar:
  • A regra de que a parte real de um produto complexo A e^itheta é diferente do produto das partes reais de A e e^itheta.
  • A definição de valor médio do vetor de Poynting: lang<=Srang<= = tfrac12ReE0 times H0^*

Passo 2

Para achar a parte real de E, escrevemos theta = omega t - k z e fazemos:
(5+4i)e^itheta = (5+4i)(costheta + isintheta) = (5costheta - 4sintheta) + i(4costheta + 5sintheta),
(3-4i)e^itheta = (3-4i)(costheta + isintheta) = (3costheta + 4sintheta) + i(-4costheta + 3sintheta)
Pegando só a parte real dos dois componentes, obtemos:
E(t,z) = l(5costheta - 4sinthetar)ax + l(3costheta + 4sinthetar)ay

Passo 3

Agora calculamos o fasor H0 = tfrac1377,aztimesE0. Como
aztimesax = ay e
aztimesay = -ax,
H0 = 1377l[(5+4i)ay - (3-4i)axr] = -(3-4i)377ax + 5+4i377ay
Fazendo o mesmo truque de multiplicar por e^itheta e pegar a parte real, achamos:
H(t,z) = -3costheta -4sintheta377ax + 5costheta -4sintheta377ay

Passo 4

Para encontrar o valor médio do vetor de Poynting, usamos
lang<=Srang<= = tfrac12ReE0 times H0^*
Só aparece componente em az, dada por
E0timesH0^* = l(E0xH0y^* - E0yH0x^*r),az
Calculamos:
E0xH0y^* = (5+4i)(5-4i)377 = 25+16377 = 41377,
E0yH0x^* = (3-4i)(-3-4i)377 = -25377
Logo
lang<=Srang<= = tfrac1241 - (-25)377,az = 33377,az

Resposta

a) Parte real dos campos:
E(t,z) = l(5cos(omega t - kz) - 4sin(omega t - kz)r)ax + l(3cos(omega t - kz) + 4sin(omega t - kz)r)ay,
H(t,z) = -3cos(omega t - kz) - 4sin(omega t - kz)377ax + 5cos(omega t - kz) - 4sin(omega t - kz)377ay
b) Valor médio do Poynting:
lang<=Srang<= = 33377,az

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