9-Demonstre que para uma onda plana no meio linear, isotrópico e homogêneo de permissividade \varepsilon, permeabilidade \mu e condutividade \sigma, a impedância Z é um número complexo e é dada por
Z=Z_{r}+i Z_{i}=\frac{\mu w}{\left(1+Q^{2}\right)^{1 / 4}} e^{-i \gamma},
sendo
\left\{\begin{array}{c} Q=\frac{\sigma}{w \varepsilon} \\\ \gamma=\arctan (Q) \end{array},\right.
onde definimos a impedância por \vec{H}=\frac{1}{Z}(\widehat{r} \times \vec{E}).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma onda plana num meio linear, isotrópico e homogêneo com permissividade \varepsilon, permeabilidade \mu e condutividade \sigma, a impedância Z (definida por \vec{H}=\dfrac{1}{Z}(\widehat{r}\times\vec{E})) é um número complexo e tem uma forma explícita em termos de \mu, \varepsilon, \sigma e da frequência angular w.\n
As informações dadas são:
\left\{\begin{array}{l} \text{Meio com } \varepsilon,\\ \mu,\\ \sigma \\\ \text{Onda plana que se propaga na direção } \widehat{r} \\\ \text{Definição: } \vec{H}=\dfrac{1}{Z}(\widehat{r}\times\vec{E}) \\\ \text{Parâmetros auxiliares: } Q=\dfrac{\sigma}{w\varepsilon},\quad \gamma=\arctan(Q) \end{array}\right.çãçãâ
O que precisamos demonstrar: que Z é complexo e obter sua expressão em módulo e fase (forma polar). A resolução começará a seguir a partir do próximo passo.

Passo 2

Escolhemos uma convenção harmônica no tempo para trabalhar com fasores e simplificar as derivadas temporais: os campos físicos dependem do tempo como e^{-i w t} e os fasores espaciais escrevemos como amplitudes complexas (por exemplo \vec{E}(\vec r,t)=\Re\{\vec{E}(\vec r)\,e^{-i w t}\}).\n
Com essa convenção, as equações de Maxwell em regime harmônico (no domínio das frequências, onde a dependência temporal já está em e^{-i w t}) são:
\left\{\begin{array}{l} \nabla\times\vec{E}=i w \mu \,\vec{H} \\[4pt] \nabla\times\vec{H}=(\sigma - i w \varepsilon)\,\vec{E} \end{array}\right.
Explico rapidamente cada termo: \sigma aparece porque a corrente de condução é \vec{J}=\sigma\vec{E}; o termo -i w \varepsilon vem da derivada temporal de \vec{D}=\varepsilon\vec{E} com e^{-i w t}. Essas equações relacionam as rotações dos campos às próprias amplitudes \vec{E} e \vec{H}.]

Passo 3

Agora consideramos uma onda plana que se propaga na direção \widehat{r}. Para uma onda plana homogênea, as amplitudes variam espacialmente como e^{i \vec{k}\cdot\vec{r}}, e para tal solução vale \nabla\times(\cdot)=i\vec{k}\times(\cdot). Substituindo nas equações de Maxwell obtemos:
\left\{\begin{array}{l} i\vec{k}\times\vec{E}=i w \mu\,\vec{H} \\[4pt] i\vec{k}\times\vec{H}=(\sigma - i w \varepsilon)\,\vec{E} \end{array}\right.
Cancelando o fator i na primeira equação fica
\vec{k}\times\vec{E}=w\mu\,\vec{H}.
Se a direção de propagação é \widehat{r} e \vec{k}=k\,\widehat{r}, então \vec{k}\times\vec{E}=k(\widehat{r}\times\vec{E}), logo
\vec{H}=\frac{k}{w\mu}\,(\widehat{r}\times\vec{E}).
Compare com a definição \vec{H}=\dfrac{1}{Z}(\widehat{r}\times\vec{E}). Assim obtemos a relação
\frac{1}{Z}=\frac{k}{w\mu}\quad\Rightarrow\quad Z=\frac{w\mu}{k}.
Portanto a impedância está diretamente ligada ao número de onda complexo k. Neste ponto já vemos que, se k for complexo (o que ocorrerá quando \sigma\neq0), então Z também será complexo.]

Passo 4

Precisamos agora encontrar k (o número de onda) para o meio com condutividade \sigma. Use a segunda equação das que escrevemos em termos de \vec{k}:
i\vec{k}\times\vec{H}=(\sigma - i w \varepsilon)\,\vec{E}.
Substituímos \vec{H} obtida no passo anterior: \vec{H}=\dfrac{k}{w\mu}(\widehat{r}\times\vec{E}). Calculamos \vec{k}\times\vec{H}=k\widehat{r}\times\left(\dfrac{k}{w\mu}(\widehat{r}\times\vec{E})\right). Usando a identidade vetorial \widehat{r}\times(\widehat{r}\times\vec{E})=\widehat{r}(\widehat{r}\cdot\vec{E})-\vec{E}, e lembrando que para uma onda plana transversal \widehat{r}\cdot\vec{E}=0, ficamos com
\vec{k}\times\vec{H}= -\frac{k^{2}}{w\mu}\,\vec{E}.
Inserindo isto na equação de Maxwell (com o fator i) obtemos
i\left(-\frac{k^{2}}{w\mu}\right)\vec{E}=(\sigma - i w \varepsilon)\vec{E}.
Cancelando \vec{E} e rearranjando:
-\frac{i k^{2}}{w\mu}=\sigma - i w \varepsilon.
Multiplicando ambos os lados por -i w\mu
k^{2}=w^{2}\mu\varepsilon\left(1+i\frac{\sigma}{w\varepsilon}\right).
Agora usamos a definição dada no enunciado:
Q=\frac{\sigma}{w\varepsilon}.
Portanto
k^{2}=w^{2}\mu\varepsilon\,(1+iQ).

Passo 5

Extraímos k tomando a raiz quadrada:
k=w\sqrt{\mu\varepsilon}\,\sqrt{1+iQ}.
Aqui \sqrt{1+iQ} é um número complexo; podemos escrever 1+iQ em forma polar para lidar com a raiz. Primeiro escrevemos sua magnitude e argumento. A magnitude é
|1+iQ|=\sqrt{1+Q^{2}},
e seu argumento (fase) é
\arg(1+iQ)=\arctan\left(\frac{Q}{1}\right)=\arctan(Q)=\gamma,
conforme a definição do enunciado. Assim
1+iQ=\sqrt{1+Q^{2}}\,e^{i\gamma}.
Tomando a raiz quadrada:
\sqrt{1+iQ}=(1+Q^{2})^{1/4}\,e^{i\gamma/2}.
Logo
k=w\sqrt{\mu\varepsilon}\,(1+Q^{2})^{1/4}\,e^{i\gamma/2}.

Passo 6

Voltamos à expressão de Z obtida no passo 3:
Z=\frac{w\mu}{k}.
Substituímos k da expressão do passo anterior:
Z=\frac{w\mu}{w\sqrt{\mu\varepsilon}\,(1+Q^{2})^{1/4}\,e^{i\gamma/2}}.
Cancelando w e simplificando o fator \dfrac{\mu}{\sqrt{\mu\varepsilon}}=\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}}, obtemos
Z=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}\,(1+Q^{2})^{-1/4}\,e^{-i\gamma/2}.
Esta é a forma polar da impedância: um módulo multiplicado por um fator de fase e^{-i\gamma/2}. Note que, como \gamma=\arctan(Q) e Q\ge 0 quando \sigma\ge0, a fase é negativa (ou nula), mostrando que há defasagem entre \vec{E} e \vec{H} causada pela perda \sigma. Portanto Z é, de fato, um número complexo.

Passo 7

Para ficar bem explícito, escrevemos o módulo e a fase separadamente. O módulo de Z é
|Z|=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}\,(1+Q^{2})^{-1/4},
e a fase é -\dfrac{\gamma}{2}=-\dfrac{1}{2}\arctan(Q). Podemos também escrever Z em forma retangular Z=Z_{r}+iZ_{i} desenvolvendo a exponencial:
Z=|Z|(\cos(-\gamma/2)+i\sin(-\gamma/2))=|Z|(\cos(\gamma/2)-i\sin(\gamma/2)).
Se for preciso, pode-se expandir \cos(\gamma/2) e \sin(\gamma/2) em termos de Q usando identidades trigonométricas, mas a forma polar já deixa claro magnitude e defasagem.

Passo 8

Resumo didático (como usar isso na prova):
  • Comece escrevendo as equações de Maxwell no domínio de frequência (usar a convenção temporal escolhida é crucial).
  • Para uma onda plana, substitua \nabla\times por i\vec{k}\times e use a condição de transversalidade \widehat{r}\cdot\vec{E}=0.
  • Obtenha a relação entre k e os parâmetros do meio (dispersion relation) e depois a relação entre Z e k.
  • Passe 1+iQ para forma polar para extrair magnitude e fase; isso mostra diretamente que Z é complexo e fornece sua amplitude e ângulo de fase — procedimento que é rápido e seguro para a prova.

Resposta

Z=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}\,(1+Q^{2})^{-1/4}\,e^{-i\gamma/2},
com \displaystyle Q=\frac{\sigma}{w\varepsilon} e \displaystyle \gamma=\arctan(Q).

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