Demonstre a propriedade transitiva da relação de ordem
: se
e
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a relação de ordem estrita “
” é transitiva, ou seja, que de
segue
Vamos usar a definição de “
” em termos de diferença positiva e o fato de que a soma de dois números positivos é positiva.
Passo 2
Pela definição de ordem estrita,
significa que a diferença
é um número positivo:
Passo 3
Analogamente,
significa
Passo 4
Somando as duas desigualdades obtemos
Como
e
, sua soma é positiva. Note que
logo
Passo 5
Pela definição de “
”, o fato de
implica exatamente que
Resposta
Ficou demonstrado que, se
e
, então
.