Demonstre a propriedade transitiva da relação de ordem < : se m<n e n<p, então m<p.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a relação de ordem estrita “ <” é transitiva, ou seja, que de
m<n e n<p
segue
m<p
Vamos usar a definição de “ <” em termos de diferença positiva e o fato de que a soma de dois números positivos é positiva.

Passo 2

Pela definição de ordem estrita, m<n significa que a diferença n-m é um número positivo:
n - m > 0

Passo 3

Analogamente, n<p significa
p - n > 0

Passo 4

Somando as duas desigualdades obtemos
(n - m) + (p - n) > 0 + 0
Como n-m>0 e p-n>0, sua soma é positiva. Note que
(n - m) + (p - n) = p - m,
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p - m > 0

Passo 5

Pela definição de “ <”, o fato de p-m>0 implica exatamente que
m < p

Resposta

Ficou demonstrado que, se m<n e n<p, então m<p.

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