Exercício 5: Calcule a integral abaixo
integral0^2 integral-raiz4-y^2^raiz4-y^2 x^2 y^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^2integral-raiz4-y^2^raiz4-y^2 x^2y^2,dx,dy
Isso envolve integração iterada em uma região de semicírculo de raio 2, usando simetria e métodos de substituição.

Passo 2

Como a parte interna integra em x de -a a a com a=raiz4-y^2 e x^2 é função par, temos
integral-a^ax^2,dx=2a^33
Logo,
integral-raiz4-y^2^raiz4-y^2x^2y^2,dx =y^2integral-a^ax^2,dx =23y^2(4-y^2)^3/2

Passo 3

Substituindo isso na integral original, obtemos
integral0^2integral-raiz4-y^2^raiz4-y^2 x^2y^2,dx,dy =23integral0^2y^2(4-y^2)^3/2,dy

Passo 4

Para calcular integral0^2y^2(4-y^2)^3/2,dy, fazemos a substituição u=4-y^2, logo du=-2y,dy. Isso leva a
integral0^2y^2(4-y^2)^3/2,dy =12integral0^4u^3/2(4-u)^1/2,du

Passo 5

Reconhecemos a integral de Beta:
integral0^4u^3/2(4-u)^1/2,du =4^(5/2+3/2-1)Bl(5/2,3/2r) =4^3Bl(5/2,3/2r)
Como
Bl(5/2,3/2r) =Gamma(5/2)Gamma(3/2)Gamma(4) =tfrac32cdottfrac12pi6 =pi16,
segue que
integral0^4u^3/2(4-u)^1/2,du=64cdotpi16=4pi
Substituindo de volta,
23integral0^2y^2(4-y^2)^3/2,dy =23cdot12cdot4pi =4pi3

Resposta

4pi3

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