Exercício 7: Seja D a região semicircular localizada no o segundo e no terceiro quadrantes, que é centrada na origem e que possui raio 4 . Neste caso, se L é uma lâmina que ocupa a região D e se rho(x, y)=3 raizx^2+y^2 é a função que descreve a densidade de massa (em quilogramas por metros quadrados) em L, então
a) determine a massa total de Le
b) determine o centro de massa de L .

Passo 1

O enunciado descreve uma lâmina L ocupando a região semicircular D dos segundo e terceiro quadrantes, de raio 4 e centro na origem, com densidade rho(x,y)=3raizx^2+y^2. Para calcular massa total e centro de massa, vamos usar coordenadas polares:
;x=rcostheta, ;y=rsintheta, área elementar dA=r,dr,dtheta, com
0 <= r <= 4, pi2 <= theta <= 3pi2

Passo 2

A massa total é
M=integral duplaDrho(x,y),dA =integraltheta=pi/2^3pi/2integralr=0^43r,(r,dr,dtheta) =3integralpi/2^3pi/2!!integral0^4r^2,dr,dtheta
Calculando
integral0^4r^2,dr=4^33=643, integralpi/2^3pi/2dtheta=pi,
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M=3cdot643cdotpi=64pi

Passo 3

O momento em x é
integral duplaDx,rho,dA =integralpi/2^3pi/2integral0^4(rcostheta),3r,(r,dr,dtheta) =3integralpi/2^3pi/2costheta!integral0^4r^3,dr,dtheta
Como
integral0^4r^3,dr=tfrac4^44=64, temos
integral duplaDx,rho,dA =3cdot64integralpi/2^3pi/2costheta,dtheta =192l[sinthetar]pi/2^3pi/2 =192(-1-1)=-384
Assim
bar x=1Mintegral duplaDx,rho,dA =-38464pi=-6pi

Passo 4

O momento em y é
integral duplaDy,rho,dA =3integralpi/2^3pi/2sintheta!integral0^4r^3,dr,dtheta =192integralpi/2^3pi/2sintheta,dtheta =192l[-costhetar]pi/2^3pi/2 =0,
pois cos(pi/2)=cos(3pi/2)=0. Logo bar y=0.

Passo 5

Concluímos que a massa total da lâmina é M=64pi e o centro de massa é
(bar x,bar y)=l(-tfrac6pi,,0r)

Resposta

M=64pi.
bar x=-tfrac6pi, bar y=0

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