Exercício 7: Seja
a região semicircular localizada no o segundo e no terceiro quadrantes, que é centrada na origem e que possui raio 4 . Neste caso, se L é uma lâmina que ocupa a região
e se
é a função que descreve a densidade de massa (em quilogramas por metros quadrados) em L, então
a) determine a massa total de Le
b) determine o centro de massa de L .
a) determine a massa total de Le
b) determine o centro de massa de L .
Passo 1
O enunciado descreve uma lâmina
ocupando a região semicircular
dos segundo e terceiro quadrantes, de raio
e centro na origem, com densidade
. Para calcular massa total e centro de massa, vamos usar coordenadas polares:
,
, área elementar
, com
Passo 2
A massa total é
Calculando
logo
Passo 3
O momento em
é
Como
, temos
Assim
Passo 4
O momento em
é
pois
. Logo
.
Passo 5
Concluímos que a massa total da lâmina é
e o centro de massa é