Demonstre as propriedades dos determinantes, estudadas em aula. Generalize os resultados para matrizes de n \times n.

Passo 1

O enunciado pede que eu demonstre as propriedades dos determinantes que foram estudadas em aula e que eu generalize esses resultados para matrizes de n\times n.
Informações e objetivos explícitos:
  • Mostrar e provar, para matrizes quadradas de ordem n, propriedades como linearidade em uma linha/coluna, sinal ao trocar linhas, efeito de multiplicar uma linha por escalar, invariância ao somar múltiplo de uma linha em outra, determinante de matriz triangular, determinante do produto, determinante da transposta, relação com invertibilidade, e o valor para matrizes elementares e identidade.
  • Não foram dados dados numéricos — o trabalho é teórico e geral para qualquer n.

Passo 2

Definição de partida (ferramenta que vou usar): a fórmula de Leibniz para o determinante. Seja A=(a_{ij}) uma matriz n\times n. Denotando por S_n o conjunto de permutações de \{1,\dots,n\} e por \operatorname{sgn}(\sigma) a paridade da permutação \sigma (valores +1 ou -1), define-se
\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}.
Vou usar essa definição para provar as propriedades. Rápida explicação dos termos:
  • \sigma\in S_n é um rearranjo dos índices das colunas.
  • \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)} multiplica um elemento de cada linha e de cada coluna (uma escolha por linha).
  • \operatorname{sgn}(\sigma)=+1 se \sigma é par e -1 se \sigma é ímpar.

Passo 3

Propriedade — multilinearidade nas colunas (linear em cada coluna separadamente). Enunciado: fixando todas as colunas exceto a j-ésima, a aplicação que associa à coluna j o valor \det(A) é linear. Prova usando Leibniz:
  • Escreva as colunas de A como \mathbf{c}_1,\dots,\mathbf{c}_n. Os termos da soma de Leibniz são produtos de entradas, em cada termo apenas uma entrada vem da coluna j.
  • Se substituirmos \mathbf{c}_j por \alpha \mathbf{u}+\beta \mathbf{v}, então em cada produto \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)} a fator correspondente à coluna j fica linear em \alpha,\beta. Logo ao somar todos os termos obtemos
\det(\dots,\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v},\dots)=\alpha\det(\dots,\mathbf{u},\dots)+\beta\det(\dots,\mathbf{v},\dots).
  • Isso prova linearidade na j-ésima coluna. Como j era arbitrário, o determinante é multilinear nas colunas. A mesma prova vale para linhas (pela fórmula transpondo a matriz ou trocando índices).
Comentário didático: a razão é simples — em cada termo da soma, a coluna j aparece apenas uma vez como fator, então o determinante se comporta como soma de produtos lineares nessa coluna.

Passo 4

Propriedade — alternante (se duas colunas são iguais, o determinante é zero). Prova:
  • Se \mathbf{c}_p=\mathbf{c}_q com p\neq q, considere uma permutação \sigma. Trocar as imagens \sigma(p) e \sigma(q) produz uma nova permutação \tau que difere de \sigma por uma transposição, portanto \operatorname{sgn}(\tau)=-\operatorname{sgn}(\sigma).
  • Nos produtos correspondentes os fatores vindos das colunas p e q são iguais porque as colunas são iguais; então o termo de \sigma e o termo de \tau têm valores numéricos opostos. Os termos se cancelam em pares ao somar sobre todas as permutações.
  • Assim \det(A)=0.
Comentário prático: igualdade de duas linhas/colunas implica dependência e anula o determinante.

Passo 5

Propriedade — trocar duas linhas (ou duas colunas) muda o sinal do determinante. Prova direta:
  • Trocar duas colunas p e q corresponde a permutar as posições das colunas: em Leibniz, isso é equivalente a compor cada permutação \sigma com a transposição (p\\ q). A paridade muda (multiplica por -1).
  • Portanto todos os termos da soma de Leibniz mudam de sinal, logo \det(A')=-\det(A) onde A' é a matriz com as duas colunas trocadas.
  • Mesma conclusão para linhas (ou trocar linhas é trocar colunas da transposta).
Exemplo intuitivo: para 2\times2,
\det\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix}=ad-bc,
trocar linhas dá \det\begin{pmatrix}c&d\\\ a&b\end{pmatrix}=cb-da=-(ad-bc).

Passo 6

Propriedade — multiplicar uma linha (ou coluna) por escalar \lambda multiplica o determinante por \lambda. Prova:
  • Pela multilinearidade em cada linha, se substituímos a linha i por \lambda vezes ela mesma, cada termo de Leibniz contém exatamente uma entrada daquela linha, logo todo o determinante é multiplicado por \lambda:
\det(\text{linha }i\\ \text{multiplicada por }\lambda)=\lambda\det(A).
  • Repetindo para várias linhas, multiplicar a linha i por \lambda_i resulta em um fator \prod_i \lambda_i.

Passo 7

Propriedade — adicionar múltiplo de uma linha a outra linha não altera o determinante. Prova:
  • Seja A e seja A' a matriz obtida substituindo a linha r por \mathbf{r}_r+\alpha\mathbf{r}_s (onde \mathbf{r}_s é outra linha). Pela multilinearidade:
\det(A')=\det(\dots,\mathbf{r}_r+\alpha\mathbf{r}_s,\dots)=\det(\dots,\mathbf{r}_r,\dots)+\alpha\det(\dots,\mathbf{r}_s,\dots).
  • No segundo termo aparecem duas linhas idênticas (a linha s aparece duas vezes), então esse termo é zero pela propriedade alternante. Portanto \det(A')=\det(A).
  • Conclusão: operação do tipo "linha r \leftarrow linha r + \alpha )linha s" não altera \det.
Comentário prático: esta é a justificativa teórica do uso de eliminação de Gauss sem alterar o determinante (exceto quando se troca ou escala linhas).

Passo 8

Propriedade — determinante de matriz triangular e determinante da identidade. Enunciado: se A é triangular (superior ou inferior), então \det(A)=\prod_{i=1}^n a_{ii}. Em particular \det(I)=1. Prova:
  • Suponha A triangular superior: para i>j tem a_{ij}=0. Num termo da soma de Leibniz, se \sigma não for a permutação identidade existe ao menos um índice i tal que \sigma(i)<i (porque \sigma permuta posições para a esquerda em algum lugar). Para esse i o fator a_{i,\sigma(i)} está abaixo da diagonal e vale 0. Logo todos os termos com \sigma\neq \mathrm{id} são zero.
  • Só a permutação identidade contribui, dando produto \prod_{i=1}^n a_{i,i}.
  • Para a identidade I todos os a_{ii}=1, então \det(I)=1.

Passo 9

Propriedade — determinante da transposta. Enunciado: \det(A^T)=\det(A). Prova:
  • A fórmula de Leibniz para A^T
\det(A^T)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{\sigma(i),i}.
  • Fazendo a mudança de variável \tau=\sigma^{-1} (que também percorre S_n e tem \operatorname{sgn}(\tau)=\operatorname{sgn}(\sigma)), obtemos exatamente a soma para \det(A). Portanto \det(A^T)=\det(A).
Comentário curto: determinante é simétrico entre linhas e colunas.

Passo 10

Propriedade — determinante do produto: \det(AB)=\det(A)\det(B). Demonstração elegante e instrutiva via unicidade de forma alternante multilinear:
  • Defina a aplicação F que a cada matriz quadrada X associa F(X)=\det(AX), com A fixada.
  • Pelo que já provamos, F é multilinear e alternante nas colunas de X (pois produto AX combina linearmente as colunas de X e o determinante é multilinear e alternante).
  • Há um teorema (que pode ser demonstrado diretamente expandindo colunas na base canônica) que diz: qualquer aplicação multilinear alternante das colunas de uma matriz X vale um escalar c vezes \det(X). Ou seja, existe c\in\mathbb{R} (ou \mathbb{C}) tal que F(X)=c\det(X) para todo X.
  • Para descobrir c, avalia-se em X=I:
c=F(I)=\det(AI)=\det(A).
  • Assim F(X)=\det(A)\det(X) para todo X. Em particular, para X=B obtemos
\det(AB)=\det(A)\det(B).
  • Observação: este argumento evita a expansão combinatória pesada e usa propriedades já estabelecidas (multilinearidade e alternância) junto com a unicidade da forma determinantal.

Passo 11

Propriedade — determinante e inversibilidade. Enunciados e provas:
  • Se A é invertível então \det(A)\neq 0. Prova: suponha \det(A)=0. Pela multiplicatividade, \det(I)=\det(A A^{-1})=\det(A)\det(A^{-1})=0, contradição porque \det(I)=1. Logo \det(A)\neq0.
  • Recíproco: se \det(A)\neq0 então A é invertível. Prova pode ser feita usando que colunas linearmente independentes \iff determinante não nulo: se colunas dependes então existe combinação linear não-trivial \Rightarrow uma coluna é combinação das outras e por multilinearidade/determinante alternante resulta \det(A)=0. O contrapositivo dá que \det(A)\neq0\Rightarrow colunas independentes \Rightarrow A tem posto n e é invertível.
  • Relação para inversa: se A é invertível então
\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}.
Prova: multiplicatividade dá 1=\det(I)=\det(A A^{-1})=\det(A)\det(A^{-1}), daí o resultado.

Passo 12

Propriedade — valor do determinante para matrizes elementares e efeito nas operações elementares:
  • Matrizes elementares correspondem às operações de linha. Para cada tipo:
    1. Trocar duas linhas: matriz elemental E tem \det(E)=-1.
    2. Multiplicar uma linha por \lambda: E tem \det(E)=\lambda.
    3. Adicionar \alpha vezes uma linha a outra: E tem \det(E)=1.
  • Prova rápida: aplicar as operações numa matriz genérica A e usar as propriedades já demonstradas (linearidade, alternância, invariância por adição de múltiplos) para ver o efeito no determinante. Como cada operação elementar é obtida multiplicando A por uma matriz elementar E à esquerda, e \det(EA)=\det(E)\det(A), o determinante de E é o fator que multiplica \det(A) nas correspondentes operações.
Comentário prático: isso é útil na eliminação de Gauss para controlar como o determinante muda.

Passo 13

Propriedade — fórmula de Laplace (expansão por cofatores) e uso prático:
  • Para qualquer linha i,
\det(A)=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\det(A_{ij}),
onde A_{ij} é a matriz obtida de A removendo a linha i e a coluna j. Prova esboço:
  • A partir de Leibniz separar as permutações pelo valor de \sigma(i)=j; o produto se fatoriza em a_{ij} vezes produto das entradas restantes, e o sinal fica (-1)^{i+j}\operatorname{sgn}(\tilde\sigma) relacionando com permutações em n-1 índices; somando sobre j obtém-se a expansão.
  • A mesma fórmula vale expandindo por coluna. Uso prático: cálculo recursivo do determinante e demonstração de fórmulas de adjunta e fórmula da inversa via matriz adjunta: A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A) quando \det(A)\neq0.

Passo 14

Observações finais e aplicações rápidas:
  • A definição via permutações dá todas as propriedades fundamentais de forma direta. A visão alternativa (determinante como a única forma multilinear alternante que dá 1 para a identidade) é conceitualmente poderosa e facilita provar a multiplicatividade.
  • Consequência prática: para calcular determinantes em provas, use operações elementares controlando os fatores (troca de linhas muda sinal, multiplicar linha por \lambda multiplica determinante por \lambda, somar múltiplo não altera) e termine com matriz triangular para multiplicar diagonais.

Resposta

  • Multilinearidade: \det é linear em cada coluna (ou linha) separadamente.
  • Alternância: se duas colunas (ou duas linhas) são iguais então \det(A)=0.
  • Troca de linhas: trocar duas linhas (ou duas colunas) muda o sinal do determinante: trocar \Rightarrow \det troca de sinal.
  • Escalar em uma linha: multiplicar uma linha por \lambda multiplica \det por \lambda.
  • Soma de múltiplo: adicionar \alpha vezes uma linha a outra não altera \det.
  • Triangularidade: se A é triangular então \det(A)=\prod_{i=1}^n a_{ii}.
  • Identidade: \det(I)=1.
  • Transposta: \det(A^T)=\det(A).
  • Produto: \det(AB)=\det(A)\det(B) para n\times n quaisquer.
  • Inversibilidade: A é invertível \iff\det(A)\neq0; se A invertível então \det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}.
  • Matrizes elementares: trocar linhas \Rightarrow\det(E)=-1; multiplicar linha por \lambda\Rightarrow\det(E)=\lambda; adicionar múltiplo de linha \Rightarrow\det(E)=1.
  • Expansão de Laplace: \displaystyle \det(A)=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\det(A_{ij}) para qualquer linha i (e versão por coluna).

Exercícios relacionados