Demonstre as propriedades dos determinantes, estudadas em aula. Generalize os resultados para matrizes de
.
Passo 1
O enunciado pede que eu demonstre as propriedades dos determinantes que foram estudadas em aula e que eu generalize esses resultados para matrizes de
.
Informações e objetivos explícitos:
Informações e objetivos explícitos:
- Mostrar e provar, para matrizes quadradas de ordem
, propriedades como linearidade em uma linha/coluna, sinal ao trocar linhas, efeito de multiplicar uma linha por escalar, invariância ao somar múltiplo de uma linha em outra, determinante de matriz triangular, determinante do produto, determinante da transposta, relação com invertibilidade, e o valor para matrizes elementares e identidade. - Não foram dados dados numéricos — o trabalho é teórico e geral para qualquer
.
Passo 2
Definição de partida (ferramenta que vou usar): a fórmula de Leibniz para o determinante. Seja
uma matriz
. Denotando por
o conjunto de permutações de
e por
a paridade da permutação
(valores
ou
), define-se
Vou usar essa definição para provar as propriedades. Rápida explicação dos termos:
-
é um rearranjo dos índices das colunas. -
multiplica um elemento de cada linha e de cada coluna (uma escolha por linha). -
se é par e se é ímpar.
Passo 3
Propriedade — multilinearidade nas colunas (linear em cada coluna separadamente). Enunciado: fixando todas as colunas exceto a
-ésima, a aplicação que associa à coluna
o valor
é linear. Prova usando Leibniz:
- Escreva as colunas de
como . Os termos da soma de Leibniz são produtos de entradas, em cada termo apenas uma entrada vem da coluna . - Se substituirmos
por , então em cada produto a fator correspondente à coluna fica linear em . Logo ao somar todos os termos obtemos
- Isso prova linearidade na
-ésima coluna. Como era arbitrário, o determinante é multilinear nas colunas. A mesma prova vale para linhas (pela fórmula transpondo a matriz ou trocando índices).
Comentário didático: a razão é simples — em cada termo da soma, a coluna
aparece apenas uma vez como fator, então o determinante se comporta como soma de produtos lineares nessa coluna.
Passo 4
Propriedade — alternante (se duas colunas são iguais, o determinante é zero). Prova:
- Se
com , considere uma permutação . Trocar as imagens e produz uma nova permutação que difere de por uma transposição, portanto . - Nos produtos correspondentes os fatores vindos das colunas
e são iguais porque as colunas são iguais; então o termo de e o termo de têm valores numéricos opostos. Os termos se cancelam em pares ao somar sobre todas as permutações. - Assim
.
Comentário prático: igualdade de duas linhas/colunas implica dependência e anula o determinante.
Passo 5
Propriedade — trocar duas linhas (ou duas colunas) muda o sinal do determinante. Prova direta:
- Trocar duas colunas
e corresponde a permutar as posições das colunas: em Leibniz, isso é equivalente a compor cada permutação com a transposição . A paridade muda (multiplica por ). - Portanto todos os termos da soma de Leibniz mudam de sinal, logo
onde é a matriz com as duas colunas trocadas. - Mesma conclusão para linhas (ou trocar linhas é trocar colunas da transposta).
Exemplo intuitivo: para
,
trocar linhas dá
.
Passo 6
Propriedade — multiplicar uma linha (ou coluna) por escalar
multiplica o determinante por
. Prova:
- Pela multilinearidade em cada linha, se substituímos a linha
por vezes ela mesma, cada termo de Leibniz contém exatamente uma entrada daquela linha, logo todo o determinante é multiplicado por :
- Repetindo para várias linhas, multiplicar a linha
por resulta em um fator .
Passo 7
Propriedade — adicionar múltiplo de uma linha a outra linha não altera o determinante. Prova:
- Seja
e seja a matriz obtida substituindo a linha por (onde é outra linha). Pela multilinearidade:
- No segundo termo aparecem duas linhas idênticas (a linha
aparece duas vezes), então esse termo é zero pela propriedade alternante. Portanto . - Conclusão: operação do tipo "linha
linha + \alpha )linha " não altera .
Comentário prático: esta é a justificativa teórica do uso de eliminação de Gauss sem alterar o determinante (exceto quando se troca ou escala linhas).
Passo 8
Propriedade — determinante de matriz triangular e determinante da identidade. Enunciado: se
é triangular (superior ou inferior), então
. Em particular
. Prova:
- Suponha
triangular superior: para tem . Num termo da soma de Leibniz, se não for a permutação identidade existe ao menos um índice tal que (porque permuta posições para a esquerda em algum lugar). Para esse o fator está abaixo da diagonal e vale . Logo todos os termos com são zero. - Só a permutação identidade contribui, dando produto
. - Para a identidade
todos os , então .
Passo 9
Propriedade — determinante da transposta. Enunciado:
. Prova:
- A fórmula de Leibniz para
dá
- Fazendo a mudança de variável
(que também percorre e tem ), obtemos exatamente a soma para . Portanto .
Comentário curto: determinante é simétrico entre linhas e colunas.
Passo 10
Propriedade — determinante do produto:
. Demonstração elegante e instrutiva via unicidade de forma alternante multilinear:
- Defina a aplicação
que a cada matriz quadrada associa , com fixada. - Pelo que já provamos,
é multilinear e alternante nas colunas de (pois produto combina linearmente as colunas de e o determinante é multilinear e alternante). - Há um teorema (que pode ser demonstrado diretamente expandindo colunas na base canônica) que diz: qualquer aplicação multilinear alternante das colunas de uma matriz
vale um escalar vezes . Ou seja, existe (ou ) tal que para todo . - Para descobrir
, avalia-se em :
- Assim
para todo . Em particular, para obtemos
- Observação: este argumento evita a expansão combinatória pesada e usa propriedades já estabelecidas (multilinearidade e alternância) junto com a unicidade da forma determinantal.
Passo 11
Propriedade — determinante e inversibilidade. Enunciados e provas:
- Se
é invertível então . Prova: suponha . Pela multiplicatividade, , contradição porque . Logo . - Recíproco: se
então é invertível. Prova pode ser feita usando que colunas linearmente independentes determinante não nulo: se colunas dependes então existe combinação linear não-trivial uma coluna é combinação das outras e por multilinearidade/determinante alternante resulta . O contrapositivo dá que colunas independentes tem posto e é invertível. - Relação para inversa: se
é invertível então
Prova: multiplicatividade dá
, daí o resultado.
Passo 12
Propriedade — valor do determinante para matrizes elementares e efeito nas operações elementares:
- Matrizes elementares correspondem às operações de linha. Para cada tipo:
- Trocar duas linhas: matriz elemental
tem . - Multiplicar uma linha por
: tem . - Adicionar
vezes uma linha a outra: tem .
- Trocar duas linhas: matriz elemental
- Prova rápida: aplicar as operações numa matriz genérica
e usar as propriedades já demonstradas (linearidade, alternância, invariância por adição de múltiplos) para ver o efeito no determinante. Como cada operação elementar é obtida multiplicando por uma matriz elementar à esquerda, e , o determinante de é o fator que multiplica nas correspondentes operações.
Comentário prático: isso é útil na eliminação de Gauss para controlar como o determinante muda.
Passo 13
Propriedade — fórmula de Laplace (expansão por cofatores) e uso prático:
- Para qualquer linha
,
onde
é a matriz obtida de
removendo a linha
e a coluna
. Prova esboço:
- A partir de Leibniz separar as permutações pelo valor de
; o produto se fatoriza em vezes produto das entradas restantes, e o sinal fica relacionando com permutações em índices; somando sobre obtém-se a expansão. - A mesma fórmula vale expandindo por coluna. Uso prático: cálculo recursivo do determinante e demonstração de fórmulas de adjunta e fórmula da inversa via matriz adjunta:
quando .
Passo 14
Observações finais e aplicações rápidas:
- A definição via permutações dá todas as propriedades fundamentais de forma direta. A visão alternativa (determinante como a única forma multilinear alternante que dá
para a identidade) é conceitualmente poderosa e facilita provar a multiplicatividade. - Consequência prática: para calcular determinantes em provas, use operações elementares controlando os fatores (troca de linhas muda sinal, multiplicar linha por
multiplica determinante por , somar múltiplo não altera) e termine com matriz triangular para multiplicar diagonais.
Resposta
- Multilinearidade:
é linear em cada coluna (ou linha) separadamente. - Alternância: se duas colunas (ou duas linhas) são iguais então
. - Troca de linhas: trocar duas linhas (ou duas colunas) muda o sinal do determinante: trocar
troca de sinal. - Escalar em uma linha: multiplicar uma linha por
multiplica por . - Soma de múltiplo: adicionar
vezes uma linha a outra não altera . - Triangularidade: se
é triangular então . - Identidade:
. - Transposta:
. - Produto:
para quaisquer. - Inversibilidade:
é invertível ; se invertível então . - Matrizes elementares: trocar linhas
; multiplicar linha por ; adicionar múltiplo de linha . - Expansão de Laplace:
para qualquer linha (e versão por coluna).