Demonstre as regras de produtos:
\nabla \times(f \vec{A})=f(\nabla \times \vec{A})-\vec{A} \times(\nabla f)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a regra do produto entre um escalar f e um campo vetorial \vec A para o rotacional, ou seja, mostrar que
\nabla \times \bigl(f\,\vec A\bigr) = f\,\bigl(\nabla \times \vec A\bigr) - \vec A \times (\nabla f).
Para isso, vamos usar a definição em componentes do rotacional e as propriedades do símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{ijk}.

Passo 2

Começamos pela definição componente a componente do rotacional de f\,\vec A:
\bigl(\nabla \times (f\,\vec A)\bigr)_i = \varepsilon_{ijk}\,\partial_j\bigl(f\,A_k\bigr).

Passo 3

Aplicamos a regra da derivada do produto escalar–vetor em \partial_j(f\,A_k):
\partial_j\bigl(f\,A_k\bigr) = (\partial_j f)\,A_k + f\,(\partial_j A_k).
Substituindo em \bigl(\nabla \times (f\,\vec A)\bigr)_i, fica
\bigl(\nabla \times (f\,\vec A)\bigr)_i = \varepsilon_{ijk}\bigl[(\partial_j f)\,A_k + f\,(\partial_j A_k)\bigr].

Passo 4

Separamos em dois somandos:
\varepsilon_{ijk}(\partial_j f)\,A_k \quad\text{e}\quad \varepsilon_{ijk}f\,(\partial_j A_k).
– O segundo termo é
f\,\varepsilon_{ijk}\,\partial_j A_k = f\,\bigl(\nabla\times \vec A\bigr)_i.
– O primeiro termo é a definição do componente i de \nabla f\times \vec A:
\bigl(\nabla f\times \vec A\bigr)_i = \varepsilon_{ijk}\,(\partial_j f)\,A_k.
Logo
\bigl(\nabla \times (f\,\vec A)\bigr)_i = f\,\bigl(\nabla\times \vec A\bigr)_i + \bigl(\nabla f\times \vec A\bigr)_i.

Passo 5

Em forma vetorial:
\nabla \times (f\,\vec A) = f\,(\nabla \times \vec A) + \nabla f \times \vec A.
Como \nabla f \times \vec A = -\,\vec A \times (\nabla f), podemos reescrever
\nabla \times (f\,\vec A) = f\,(\nabla \times \vec A) - \vec A \times (\nabla f).

Resposta

\nabla \times \bigl(f\,\vec A\bigr) = f\,\bigl(\nabla \times \vec A\bigr) - \vec A \times (\nabla f).

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