Demonstre as regras de produtos:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a regra do produto entre um escalar
e um campo vetorial
para o rotacional, ou seja, mostrar que
Para isso, vamos usar a definição em componentes do rotacional e as propriedades do símbolo de Levi-Civita
.
Passo 2
Começamos pela definição componente a componente do rotacional de
:
Passo 3
Aplicamos a regra da derivada do produto escalar–vetor em
:
Substituindo em
, fica
Passo 4
Separamos em dois somandos:
– O segundo termo é
– O primeiro termo é a definição do componente
de
:
Logo
Passo 5
Em forma vetorial:
Como
, podemos reescrever