Demonstre as regras de produtos:
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade da álgebra vetorial
onde
e
são campos vetoriais em
.
A estratégia será usar a notação de índices com o símbolo de Levi-Civita e as definições de divergência e rotacional.
A estratégia será usar a notação de índices com o símbolo de Levi-Civita
Passo 2
Lembrando as definições em notação de índices:
e
Aqui usamos a regra de soma de Einstein, ou seja, índices repetidos são somados de 1 a 3.
Passo 3
Começamos calculando a divergência do produto vetorial:
Agora aplicamos a regra do produto em
:
Passo 4
O primeiro termo
coincide com
Como
(é só uma permutação cíclica), temos
Passo 5
O segundo termo é
Para relacionar com
, note que
Basta renomear índices: trocando
,
,
dá
.
Logo
Logo
Passo 6
Juntando os dois termos na expressão de
, obtemos
Isso conclui a demonstração.