Demonstre as regras de produtos:
\nabla \cdot(\vec{A} \times \vec{B})=\vec{B} \cdot(\nabla \times \vec{A})-\vec{A} \cdot(\nabla \times \vec{B}).

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade da álgebra vetorial
\nabla \cdot (\vec{A}\times \vec{B}) = \vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{A}) - \vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B})
onde \vec{A}=(A_1,A_2,A_3) e \vec{B}=(B_1,B_2,B_3) são campos vetoriais em \mathbb{R}^3.
A estratégia será usar a notação de índices com o símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{ijk} e as definições de divergência e rotacional.

Passo 2

Lembrando as definições em notação de índices:
(\nabla\cdot \vec{C}) = \partial_i C_i, \qquad (\nabla\times \vec{A})_i = \varepsilon_{ijk}\,\partial_j A_k,
e
(\vec{A}\times \vec{B})_i = \varepsilon_{ijk}\,A_j B_k.
Aqui usamos a regra de soma de Einstein, ou seja, índices repetidos são somados de 1 a 3.

Passo 3

Começamos calculando a divergência do produto vetorial:
\nabla\cdot(\vec{A}\times \vec{B}) = \partial_i \bigl[(\vec{A}\times \vec{B})_i\bigr] = \partial_i\bigl[\varepsilon_{ijk}\,A_j B_k\bigr] = \varepsilon_{ijk}\,\partial_i\bigl(A_j B_k\bigr).
Agora aplicamos a regra do produto em \partial_i(A_j B_k):
\varepsilon_{ijk}\,\partial_i\bigl(A_j B_k\bigr) = \varepsilon_{ijk}\bigl[(\partial_i A_j)\,B_k + A_j\,(\partial_i B_k)\bigr].

Passo 4

O primeiro termo \varepsilon_{ijk}(\partial_i A_j)B_k coincide com
\vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{A}) = B_k\,(\nabla\times\vec{A})_k = B_k\,\varepsilon_{kij}\,\partial_i A_j.
Como \varepsilon_{kij}=\varepsilon_{ijk} (é só uma permutação cíclica), temos
\varepsilon_{ijk}(\partial_i A_j)\,B_k = \vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{A}).

Passo 5

O segundo termo é
\varepsilon_{ijk}\,A_j\,(\partial_i B_k).
Para relacionar com \vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B}), note que
\vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B}) = A_j\,(\nabla\times\vec{B})_j = A_j\,\varepsilon_{jkl}\,\partial_k B_l.
Basta renomear índices: trocando j\to j, k\to i, l\to k \varepsilon_{jkl}\,\partial_k B_l = \varepsilon_{jik}\,\partial_i B_k = -\varepsilon_{ijk}\,\partial_i B_k.
Logo
\varepsilon_{ijk}\,A_j\,\partial_i B_k = -\,\vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B}).

Passo 6

Juntando os dois termos na expressão de \nabla\cdot(\vec{A}\times\vec{B}), obtemos
\nabla\cdot(\vec{A}\times\vec{B}) = \underbrace{\vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{A})}_{\text{do Passo 4}} \;+\;\underbrace{\bigl(-\vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B})\bigr)}_{\text{do Passo 5}} = \vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{A}) \;-\;\vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B}).
Isso conclui a demonstração.

Resposta

\nabla \cdot (\vec{A}\times \vec{B}) = \vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{A}) - \vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B}).

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