Calcule o divergente das seguintes funções vetoriais:
\vec{v}_{c}=y^{2} \hat{x}+\left(2 x y+z^{2}\right) \hat{y}+2 y z \hat{z}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente do campo vetorial \vec{v}_{c}=y^{2}\,\hat{x}+\bigl(2xy+z^{2}\bigr)\,\hat{y}+2yz\,\hat{z}.
O conteúdo é cálculo de divergência em coordenadas cartesianas, onde precisamos das derivadas parciais de cada componente.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas, definimos
\nabla\cdot\vec{v}_{c} =\frac{\partial}{\partial x}(v_{x}) +\frac{\partial}{\partial y}(v_{y}) +\frac{\partial}{\partial z}(v_{z})\,,
sendo v_{x}=y^{2}, v_{y}=2xy+z^{2} e v_{z}=2yz.

Passo 3

Calculamos a derivada de v_{x}=y^{2} em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}(y^{2})=0,
pois y^{2} não depende de x.

Passo 4

Calculamos a derivada de v_{y}=2xy+z^{2} em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy+z^{2}\bigr) =2x+0 =2x.

Passo 5

Calculamos a derivada de v_{z}=2yz em relação a z:
\frac{\partial}{\partial z}(2yz) =2y.

Passo 6

Somando os três resultados, obtemos
\nabla\cdot\vec{v}_{c} =0 + 2x + 2y =2x+2y =2\bigl(x+y\bigr).

Resposta

\nabla\cdot\vec{v}_{c}=2\,(x+y).

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