Demonstre a relação entre as amplitudes de Bloch das funções de onda que correspondem aos vetores de onda \vec{k} e \vec{k}+\vec{K}, u_{n, \vec{k}+\vec{K}}(\vec{r}) e u_{n, \vec{k}+\vec{K}}(\vec{r}), onde \vec{K} é um vetor de translação da rede recíproca.
(Resposta: u_{n, \vec{k}+\vec{K}}(\vec{r})=u_{n \vec{k}}(\vec{r}) e^{-i \vec{K} \vec{r}} )

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o problema pede e quais informações são dadas.
  • O enunciado pede para demonstrar a relação entre as amplitudes de Bloch \,u_{n,\vec{k}+\vec{K}}(\vec{r}) e \,u_{n,\vec{k}}(\vec{r}), sendo \vec{K} um vetor da rede recíproca.
  • Informações relevantes (que vou usar e que o enunciado implica):
    • As funções de onda de Bloch podem ser escritas como
    \psi_{n,\vec{k}}(\vec{r}) = e^{i \vec{k}\cdot\vec{r}}\,u_{n,\vec{k}}(\vec{r}),onde n é o índice de banda, \vec{k} é o vetor de onda e u_{n,\vec{k}}(\vec{r}) é uma função com a periodicidade da rede: para todo vetor de rede direta \vec{R}, u_{n,\vec{k}}(\vec{r}+\vec{R}) = u_{n,\vec{k}}(\vec{r}).
    • \vec{K} é um vetor da rede recíproca, portanto para todo \vec{R} vale
    e^{i \vec{K}\cdot\vec{R}} = 1.
  • O objetivo final é demonstrar a relação u_{n,\vec{k}+\vec{K}}(\vec{r}) = u_{n,\vec{k}}(\vec{r})\,e^{-i \vec{K}\cdot\vec{r}}.

Passo 2

Relembrando e fixando rigorosamente as definições que vamos usar (cada símbolo explicado):
  • \psi_{n,\vec{k}}(\vec{r}) é a função de onda de Bloch do elétron na banda n e com vetor de onda \vec{k}.
  • A decomposição de Bloch afirma que
\psi_{n,\vec{k}}(\vec{r}) = e^{i \vec{k}\cdot\vec{r}}\,u_{n,\vec{k}}(\vec{r}),
onde a parte u_{n,\vec{k}}(\vec{r}) é periódica com a rede direta: u_{n,\vec{k}}(\vec{r}+\vec{R})=u_{n,\vec{k}}(\vec{r}) para todo vetor de rede direta \vec{R}.
  • Um vetor \vec{K} da rede recíproca satisfaz \,e^{i \vec{K}\cdot\vec{R}}=1 para todo \vec{R}.
Vou usar essas propriedades de periodicidade e a forma das funções de Bloch para obter a relação pedida.

Passo 3

Verificar como as funções de Bloch se comportam sob translação por um vetor de rede direta \vec{R}.
  • Pela forma de Bloch,
\psi_{n,\vec{k}}(\vec{r}+\vec{R}) = e^{i \vec{k}\cdot(\vec{r}+\vec{R})}\,u_{n,\vec{k}}(\vec{r}+\vec{R}).
  • Como u_{n,\vec{k}} é periódico em \vec{R}, isto é u_{n,\vec{k}}(\vec{r}+\vec{R})=u_{n,\vec{k}}(\vec{r}), segue
\psi_{n,\vec{k}}(\vec{r}+\vec{R}) = e^{i \vec{k}\cdot\vec{R}}\,e^{i \vec{k}\cdot\vec{r}}\,u_{n,\vec{k}}(\vec{r}) = e^{i \vec{k}\cdot\vec{R}}\,\psi_{n,\vec{k}}(\vec{r}).
  • Portanto, cada \psi_{n,\vec{k}} satisfaz a condição de Bloch de fase e^{i\vec{k}\cdot\vec{R}} sob translação por \vec{R}.

Passo 4

Aplicar a mesma observação para \vec{k}+\vec{K} e usar a propriedade de \vec{K}.
  • Para \psi_{n,\vec{k}+\vec{K}} temos, pelo mesmo raciocínio,
\psi_{n,\vec{k}+\vec{K}}(\vec{r}+\vec{R}) = e^{i (\vec{k}+\vec{K})\cdot\vec{R}}\,\psi_{n,\vec{k}+\vec{K}}(\vec{r}).
  • Como \vec{K} pertence à rede recíproca, e^{i \vec{K}\cdot\vec{R}}=1. Logo
\psi_{n,\vec{k}+\vec{K}}(\vec{r}+\vec{R}) = e^{i \vec{k}\cdot\vec{R}}\,\psi_{n,\vec{k}+\vec{K}}(\vec{r}).
  • Conclusão importante: as funções \psi_{n,\vec{k}} e \psi_{n,\vec{k}+\vec{K}} têm a mesma propriedade de transformação sob translações pela rede direta (a mesma “fase de Bloch” e^{i\vec{k}\cdot\vec{R}}).

Passo 5

Mostrar que a razão entre as duas funções de onda é periódica e escrever essa razão em termos das amplitudes u.
  • Defina a função
w(\vec{r}) \equiv \frac{\psi_{n,\vec{k}+\vec{K}}(\vec{r})}{\psi_{n,\vec{k}}(\vec{r})}.
  • Pela propriedade do passo anterior, ao transladar por \vec{R} obtemos
w(\vec{r}+\vec{R}) = \frac{\psi_{n,\vec{k}+\vec{K}}(\vec{r}+\vec{R})}{\psi_{n,\vec{k}}(\vec{r}+\vec{R})} = \frac{e^{i\vec{k}\cdot\vec{R}}\psi_{n,\vec{k}+\vec{K}}(\vec{r})}{e^{i\vec{k}\cdot\vec{R}}\psi_{n,\vec{k}}(\vec{r})} = w(\vec{r}).
  • Logo w(\vec{r}) é uma função com a periodicidade da rede direta: w(\vec{r}+\vec{R})=w(\vec{r}).
  • Escrevendo w em termos das partes periódicas u, usando \psi_{n,\vec{k}}=e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}u_{n,\vec{k}} e \psi_{n,\vec{k}+\vec{K}}=e^{i(\vec{k}+\vec{K})\cdot\vec{r}}u_{n,\vec{k}+\vec{K}}, obtém-se
w(\vec{r}) = \frac{e^{i(\vec{k}+\vec{K})\cdot\vec{r}}\,u_{n,\vec{k}+\vec{K}}(\vec{r})}{e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}\,u_{n,\vec{k}}(\vec{r})} = e^{i\vec{K}\cdot\vec{r}}\;\frac{u_{n,\vec{k}+\vec{K}}(\vec{r})}{u_{n,\vec{k}}(\vec{r})}.

Passo 6

Usar a periodicidade de w e de e^{i\vec{K}\cdot\vec{r}} para obter periodicidade relativa das u e chegar na relação desejada.
  • Observação: e^{i\vec{K}\cdot\vec{r}} é também periódico com a rede direta, porque para todo \vec{R}
e^{i\vec{K}\cdot(\vec{r}+\vec{R})} = e^{i\vec{K}\cdot\vec{r}}\,e^{i\vec{K}\cdot\vec{R}} = e^{i\vec{K}\cdot\vec{r}}\cdot 1 = e^{i\vec{K}\cdot\vec{r}}.
  • Já vimos que w(\vec{r}) é periódico. Como w(\vec{r}) = e^{i\vec{K}\cdot\vec{r}} \dfrac{u_{n,\vec{k}+\vec{K}}(\vec{r})}{u_{n,\vec{k}}(\vec{r})} e tanto w quanto e^{i\vec{K}\cdot\vec{r}} são periódicos, segue que a razão
\frac{u_{n,\vec{k}+\vec{K}}(\vec{r})}{u_{n,\vec{k}}(\vec{r})}
é também periódica (produto/razão de funções periódicas com a mesma rede é periódica).
  • Agora temos liberdade de fase/gauge: as funções de Bloch \psi_{n,\vec{k}} não são unicamente determinadas — podem ser multiplicadas por uma função periódica (ou por um fator de fase dependente de \vec{k}) sem violar a forma de Bloch. Em particular, como \vec{k} e \vec{k}+\vec{K} são equivalentes modulo a rede recíproca (mesma representação de translação), pode-se escolher a fase (gauge) tal que as próprias funções de onda satisfaçam
\psi_{n,\vec{k}+\vec{K}}(\vec{r}) = \psi_{n,\vec{k}}(\vec{r}).
(Essa é uma escolha de convenção conveniente e comum; outras escolhas diferem por um fator periódico, mas a relação pedida aparece naturalmente nesta convenção.)
  • Supondo essa escolha de gauge, substitui-se na definição de u:
u_{n,\vec{k}+\vec{K}}(\vec{r}) = e^{-i(\vec{k}+\vec{K})\cdot\vec{r}}\,\psi_{n,\vec{k}+\vec{K}}(\vec{r}) = e^{-i(\vec{k}+\vec{K})\cdot\vec{r}}\,\psi_{n,\vec{k}}(\vec{r}).
  • Como \psi_{n,\vec{k}}(\vec{r}) = e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}\,u_{n,\vec{k}}(\vec{r}), segue
u_{n,\vec{k}+\vec{K}}(\vec{r}) = e^{-i(\vec{k}+\vec{K})\cdot\vec{r}} \, e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}\, u_{n,\vec{k}}(\vec{r}) = e^{-i\vec{K}\cdot\vec{r}}\,u_{n,\vec{k}}(\vec{r}).

Passo 7

Resumo e comentário final (estilo de prova curta): com a escolha de gauge \psi_{n,\vec{k}+\vec{K}}=\psi_{n,\vec{k}}, a relação entre as partes periódicas de Bloch é exatamente
u_{n,\vec{k}+\vec{K}}(\vec{r}) = e^{-i\vec{K}\cdot\vec{r}}\,u_{n,\vec{k}}(\vec{r}).
Isso é consistente com o fato de que \vec{k} e \vec{k}+\vec{K} representam o mesmo cristal-momentum (mod \vec{K}), e expressa como a parte periódica u muda quando se desloca o vetor de onda por um vetor recíproco.

Resposta

u_{n,\vec{k}+\vec{K}}(\vec{r})=u_{n,\vec{k}}(\vec{r})\,e^{-i\vec{K}\cdot\vec{r}}

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