Demonstre a relação entre as amplitudes de Bloch das funções de onda que correspondem aos vetores de onda
e
e
, onde
é um vetor de translação da rede recíproca.
(Resposta:
)
(Resposta:
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o problema pede e quais informações são dadas.
- O enunciado pede para demonstrar a relação entre as amplitudes de Bloch
e , sendo um vetor da rede recíproca. - Informações relevantes (que vou usar e que o enunciado implica):
- As funções de onda de Bloch podem ser escritas como
onde é o índice de banda, é o vetor de onda e é uma função com a periodicidade da rede: para todo vetor de rede direta , -
é um vetor da rede recíproca, portanto para todo vale
- O objetivo final é demonstrar a relação
Passo 2
Relembrando e fixando rigorosamente as definições que vamos usar (cada símbolo explicado):
-
é a função de onda de Bloch do elétron na banda e com vetor de onda . - A decomposição de Bloch afirma que
onde a parte
é periódica com a rede direta:
para todo vetor de rede direta
.
- Um vetor
da rede recíproca satisfaz para todo .
Vou usar essas propriedades de periodicidade e a forma das funções de Bloch para obter a relação pedida.
Passo 3
Verificar como as funções de Bloch se comportam sob translação por um vetor de rede direta
.
- Pela forma de Bloch,
- Como
é periódico em , isto é , segue
- Portanto, cada
satisfaz a condição de Bloch de fase sob translação por .
Passo 4
Aplicar a mesma observação para
e usar a propriedade de
.
- Para
temos, pelo mesmo raciocínio,
- Como
pertence à rede recíproca, . Logo
- Conclusão importante: as funções
e têm a mesma propriedade de transformação sob translações pela rede direta (a mesma “fase de Bloch” ).
Passo 5
Mostrar que a razão entre as duas funções de onda é periódica e escrever essa razão em termos das amplitudes
.
- Defina a função
- Pela propriedade do passo anterior, ao transladar por
obtemos
- Logo
é uma função com a periodicidade da rede direta: . - Escrevendo
em termos das partes periódicas , usando e , obtém-se
Passo 6
Usar a periodicidade de
e de
para obter periodicidade relativa das
e chegar na relação desejada.
- Observação:
é também periódico com a rede direta, porque para todo
- Já vimos que
é periódico. Como e tanto quanto são periódicos, segue que a razão
é também periódica (produto/razão de funções periódicas com a mesma rede é periódica).
- Agora temos liberdade de fase/gauge: as funções de Bloch
não são unicamente determinadas — podem ser multiplicadas por uma função periódica (ou por um fator de fase dependente de ) sem violar a forma de Bloch. Em particular, como e são equivalentes modulo a rede recíproca (mesma representação de translação), pode-se escolher a fase (gauge) tal que as próprias funções de onda satisfaçam
(Essa é uma escolha de convenção conveniente e comum; outras escolhas diferem por um fator periódico, mas a relação pedida aparece naturalmente nesta convenção.)
- Supondo essa escolha de gauge, substitui-se na definição de
:
- Como
, segue
Passo 7
Resumo e comentário final (estilo de prova curta): com a escolha de gauge
, a relação entre as partes periódicas de Bloch é exatamente
Isso é consistente com o fato de que
e
representam o mesmo cristal-momentum (mod
), e expressa como a parte periódica
muda quando se desloca o vetor de onda por um vetor recíproco.