A função de onda de um electrão num cristal pode ser escrita como uma combinação linear de funções de Wannier, localizadas (parecidas com as orbitais atómicas) e centradas nos nós da rede cristalina,
onde
é a função de Wannier e
é o índice de banda.
a) Mostre que
obedece ao teorema de Bloch.
b) Mostre que a função de onda de Bloch,
definida acima, é periódica no espaço
, sendo
um vetor de translação da rede recíproca.
a) Mostre que
b) Mostre que a função de onda de Bloch,
Passo 1
O enunciado dá a função de onda escrita como combinação linear de funções de Wannier:
onde
é a função de Wannier (localizada) e os
são vetores de rede (todos os nós da rede cristalina). As perguntas são duas:
a) Mostrar que obedece ao teorema de Bloch, isto é provar a relação de transporte por um vetor de rede
:
a) Mostrar que
b) Mostrar que
é periódica no espaço
, ou seja
quando
é um vetor do retículo recíproco (isto é, satisfaça a propriedade apropriada com vetores de rede).
Passo 2
Entender claramente o que precisamos usar. Vou escrever a transformação desejada para o caso (a) e calcular explicitamente:
Calcular usando a definição dada e manipular a soma sobre
. Para manipular somas sobre vetores de rede vou usar o fato simples e importante: o conjunto
é invariante por translação por qualquer vetor de rede
. Ou seja, ao somar sobre todos os
também se soma sobre todos os
(é apenas um reindexamento bijetivo dos elementos do retículo).
Calcular
Passo 3
Cálculo direto para (a). Começo substituindo
na definição:
Agora faço o reindexamento de soma: defina
. Como explicado, variar
sobre todos os vetores de rede é equivalente a variar
sobre todos os
. Substituindo
na soma obtemos
Separe o fator que depende só de
:
Mas a soma sobre
é exatamente a definição original de
. Assim
Isso prova o teorema de Bloch para a função dada. Observação didática: o único passo essencial aqui é o reindexamento da soma (válido porque a rede é invariante por translação) e a fatoração do termo
.
Passo 4
Preparação para (b): lembrar a definição/propiedade do retículo recíproco. Um vetor
pertence ao retículo recíproco se e somente se para todo vetor de rede
vale
ou equivalentemente
com
. Essa é a definição que usarei para simplificar fatores exponenciais quando
multiplica qualquer
.
Passo 5
Cálculo direto para (b). Começo escrevendo a função com
:
Separe o produto exponencial:
Mas, por hipótese,
é vetor do retículo recíproco, logo
para todo
. Portanto cada termo da soma fica igual ao termo correspondente em
, e assim
Isso demonstra a periodicidade em
-espaço com período dado pelos vetores do retículo recíproco.
Passo 6
Resumo didático rápido e exemplo simples para fixar a intuição. O que aconteceu em (a) foi apenas um reindexamento da soma usando que deslocar todos os centros de Wannier por um vetor de rede gera de novo a mesma coleção de centros; o fator extra
sobe fora da soma e é a característica da forma de Bloch. Em (b) usamos a propriedade definidora do retículo recíproco: somar
a
acrescenta um fator
em cada termo, então nada muda. Exemplo 1D para ver na prática: se
e
então
, que é exatamente o passo usado em (b).
Resposta
a)
b)