A função de onda de um electrão num cristal pode ser escrita como uma combinação linear de funções de Wannier, localizadas (parecidas com as orbitais atómicas) e centradas nos nós da rede cristalina,
\psi_{n \vec{k}}(\vec{r})=\sum_{j} w_{n}\left(\vec{r}-\vec{R}_{j}\right) e^{i \vec{k} \vec{R}_{j}}
onde w_{n}(\vec{r}) é a função de Wannier e n é o índice de banda.
a) Mostre que \psi_{n \vec{k}}(\vec{r}) obedece ao teorema de Bloch.
b) Mostre que a função de onda de Bloch, \psi_{n \vec{k}}(\vec{r}) definida acima, é periódica no espaço \vec{k}, \psi_{n \vec{k}}(\vec{r})=\psi_{n, \vec{k}+\vec{K}}(\vec{r}), sendo \vec{K} um vetor de translação da rede recíproca.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda escrita como combinação linear de funções de Wannier:
\psi_{n \vec{k}}(\vec{r})=\sum_{j} w_{n}\bigl(\vec{r}-\vec{R}_{j}\bigr)\,e^{i \vec{k}\cdot\vec{R}_{j}},
onde w_{n}(\vec{r}) é a função de Wannier (localizada) e os \vec{R}_{j} são vetores de rede (todos os nós da rede cristalina). As perguntas são duas:
a) Mostrar que \psi_{n\vec{k}}(\vec{r}) obedece ao teorema de Bloch, isto é provar a relação de transporte por um vetor de rede \vec{R}:
\psi_{n\vec{k}}(\vec{r}+\vec{R}) = e^{i\vec{k}\cdot\vec{R}}\;\psi_{n\vec{k}}(\vec{r}).
b) Mostrar que \psi_{n\vec{k}}(\vec{r}) é periódica no espaço \vec{k}, ou seja
\psi_{n,\vec{k}+\vec{K}}(\vec{r})=\psi_{n,\vec{k}}(\vec{r}),
quando \vec{K} é um vetor do retículo recíproco (isto é, satisfaça a propriedade apropriada com vetores de rede).

Passo 2

Entender claramente o que precisamos usar. Vou escrever a transformação desejada para o caso (a) e calcular explicitamente:
Calcular \psi_{n\vec{k}}(\vec{r}+\vec{R}) usando a definição dada e manipular a soma sobre \vec{R}_{j}. Para manipular somas sobre vetores de rede vou usar o fato simples e importante: o conjunto \{\vec{R}_{j}\} é invariante por translação por qualquer vetor de rede \vec{R}. Ou seja, ao somar sobre todos os \vec{R}_{j} também se soma sobre todos os \vec{R}_{j}-\vec{R} (é apenas um reindexamento bijetivo dos elementos do retículo).

Passo 3

Cálculo direto para (a). Começo substituindo \vec{r}\mapsto\vec{r}+\vec{R} na definição:
\psi_{n\vec{k}}(\vec{r}+\vec{R}) =\sum_{j} w_{n}\bigl(\vec{r}+\vec{R}-\vec{R}_{j}\bigr)\,e^{i\vec{k}\cdot\vec{R}_{j}}.
Agora faço o reindexamento de soma: defina \vec{R}_{j}'=\vec{R}_{j}-\vec{R}. Como explicado, variar j sobre todos os vetores de rede é equivalente a variar j sobre todos os \vec{R}_{j}'. Substituindo \vec{R}_{j}=\vec{R}_{j}'+\vec{R} na soma obtemos
\psi_{n\vec{k}}(\vec{r}+\vec{R}) =\sum_{j'} w_{n}\bigl(\vec{r}-\vec{R}_{j}'\bigr)\,e^{i\vec{k}\cdot(\vec{R}_{j}'+\vec{R})}.
Separe o fator que depende só de \vec{R}:
\psi_{n\vec{k}}(\vec{r}+\vec{R}) =e^{i\vec{k}\cdot\vec{R}}\sum_{j'} w_{n}\bigl(\vec{r}-\vec{R}_{j}'\bigr)\,e^{i\vec{k}\cdot\vec{R}_{j}'}.
Mas a soma sobre j' é exatamente a definição original de \psi_{n\vec{k}}(\vec{r}). Assim
\psi_{n\vec{k}}(\vec{r}+\vec{R})=e^{i\vec{k}\cdot\vec{R}}\;\psi_{n\vec{k}}(\vec{r}).
Isso prova o teorema de Bloch para a função dada. Observação didática: o único passo essencial aqui é o reindexamento da soma (válido porque a rede é invariante por translação) e a fatoração do termo e^{i\vec{k}\cdot\vec{R}}.

Passo 4

Preparação para (b): lembrar a definição/propiedade do retículo recíproco. Um vetor \vec{K} pertence ao retículo recíproco se e somente se para todo vetor de rede \vec{R} vale
e^{i\vec{K}\cdot\vec{R}}=1,
ou equivalentemente \vec{K}\cdot\vec{R}=2\pi m com m\in\mathbb{Z}. Essa é a definição que usarei para simplificar fatores exponenciais quando \vec{K} multiplica qualquer \vec{R}_{j}.

Passo 5

Cálculo direto para (b). Começo escrevendo a função com \vec{k}\mapsto\vec{k}+\vec{K}:
\psi_{n,\vec{k}+\vec{K}}(\vec{r}) =\sum_{j} w_{n}\bigl(\vec{r}-\vec{R}_{j}\bigr)\,e^{i(\vec{k}+\vec{K})\cdot\vec{R}_{j}}.
Separe o produto exponencial:
\psi_{n,\vec{k}+\vec{K}}(\vec{r}) =\sum_{j} w_{n}\bigl(\vec{r}-\vec{R}_{j}\bigr)\,e^{i\vec{k}\cdot\vec{R}_{j}}\,e^{i\vec{K}\cdot\vec{R}_{j}}.
Mas, por hipótese, \vec{K} é vetor do retículo recíproco, logo e^{i\vec{K}\cdot\vec{R}_{j}}=1 para todo \vec{R}_{j}. Portanto cada termo da soma fica igual ao termo correspondente em \psi_{n\vec{k}}(\vec{r}), e assim
\psi_{n,\vec{k}+\vec{K}}(\vec{r})=\sum_{j} w_{n}\bigl(\vec{r}-\vec{R}_{j}\bigr)\,e^{i\vec{k}\cdot\vec{R}_{j}}=\psi_{n\vec{k}}(\vec{r}).
Isso demonstra a periodicidade em \vec{k}-espaço com período dado pelos vetores do retículo recíproco.

Passo 6

Resumo didático rápido e exemplo simples para fixar a intuição. O que aconteceu em (a) foi apenas um reindexamento da soma usando que deslocar todos os centros de Wannier por um vetor de rede gera de novo a mesma coleção de centros; o fator extra e^{i\vec{k}\cdot\vec{R}} sobe fora da soma e é a característica da forma de Bloch. Em (b) usamos a propriedade definidora do retículo recíproco: somar \vec{K} a \vec{k} acrescenta um fator e^{i\vec{K}\cdot\vec{R}_{j}}=1 em cada termo, então nada muda. Exemplo 1D para ver na prática: se \vec{R}_{j}=j a e \vec{K}=2\pi m/a então e^{i\vec{K}\cdot\vec{R}_{j}}=e^{i(2\pi m/a)(j a)}=e^{i2\pi m j}=1, que é exatamente o passo usado em (b).

Resposta

a) \psi_{n\vec{k}}(\vec{r}+\vec{R})=e^{i\vec{k}\cdot\vec{R}}\;\psi_{n\vec{k}}(\vec{r})
b) \psi_{n,\vec{k}+\vec{K}}(\vec{r})=\psi_{n\vec{k}}(\vec{r})

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