Demonstre que as retas 2 x+3 y=0,(2 k+1) x+(3 k-2) y+5=0 e x-2 y+5=0 são concorrentes no mesmo ponto, qualquer que seja k in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que as retas , e sempre se encontram no mesmo ponto, independente do valor de . Isso está ligado ao estudo de sistemas de equações lineares e como encontrar o ponto de interseção das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto onde as duas primeiras retas se cruzam. Temos o sistema:
2x + 3y = 0 x - 2y + 5 = 0
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, isolamos 2x + 3y = 0 Rightarrow 2x = -3y Rightarrow x = -32y :
-32y - 2y + 5 = 0 Rightarrow -72y + 5 = 0
Agora, substituímos -72y = -5 Rightarrow y = -5-72 = 107 na segunda equação:
x = -32 times 107 = -3014 = -157
Isolando :
Com , encontramos :
Então, o ponto de interseção das duas primeiras retas é .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a terceira reta (2k + 1)(-157) + (3k - 2)(107) + 5 = 0 passa por esse ponto, independentemente do valor de -30k + 157 + 30k - 207 + 5 = 0 .
Vamos substituir -30k -15 + 30k -207 + 5 = -357 + 5 = -5 + 5 = 0 e na equação da terceira reta:
Fazendo as multiplicações:
Unindo as frações:
O resultado é 0, o que confirma que, não importa o valor de , o ponto está na terceira reta.

Resposta

As três retas sempre se encontram no ponto , independente de .

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