Determinar o perímetro do triângulo A B C que verifica as seguintes condições: A pertence ao eixo x ; B pertence ao eixo Y; a reta over<=ftrightarrowB C tem equação x-y=0; e a reta over<=ftrightarrowA C tem equação x+2 y-3=0.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Queremos encontrar o perímetro do triângulo que tem algumas condições específicas:
  • O ponto está no eixo .
  • O ponto está no eixo .
  • A reta que passa por e tem a equação .
  • A reta que passa por e tem a equação .
Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre geometria analítica, especialmente como encontrar pontos de interseção de retas e calcular distâncias entre pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar as coordenadas dos pontos , e .
  • Como está no eixo , sua coordenada é zero. Vamos chamar de .
  • Como está no eixo , sua coordenada é zero. Vamos chamar de .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas do ponto x + 2x - 3 = 0 3x - 3 = 0 x = 1 . Sabemos que está na interseção das retas e .
A reta tem a equação , que podemos reescrever como .
A reta tem a equação . Substituindo nessa equação:
Então, . Portanto, o ponto é .

Passo 4

Agora que temos a + 2(0) - 3 = 0 a - 3 = 0 a = 3 , vamos encontrar . Sabemos que está na reta , cuja equação é . Como :
Portanto, .

Passo 5

Para encontrar y = 0 , usamos a reta que tem a equação . Sabemos que está no eixo , então :
Portanto, .

Passo 6

Agora que temos as coordenadas dos três pontos:
Vamos calcular as distâncias dos lados do triângulo para encontrar o perímetro.

Passo 7

Calculando a distância entre AB = raiz(3 - 0)^2 + (0 - 0)^2 = raiz9 = 3 e BC = raiz(1 - 0)^2 + (1 - 0)^2 = raiz1 + 1 = raiz2 :
CA = raiz(3 - 1)^2 + (0 - 1)^2 = raiz4 + 1 = raiz5
Calculando a distância entre e :
Calculando a distância entre e :

Resposta

Somando as três distâncias, o perímetro do triângulo P = AB + BC + CA = 3 + raiz2 + raiz5 unidades é:

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