Demonstre o seguinte:
(a) Mostre que
é irracional. (Sugestão: use o facto de que qualquer inteiro é da forma
, ou
.)
(b) Mostre que
é irracional.
© Mostre que a soma de um número racional com um número irracional resulta num número irracional.
(a) Mostre que
(b) Mostre que
© Mostre que a soma de um número racional com um número irracional resulta num número irracional.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar três fatos: que
é irracional usando aritmética modular (números da forma
), que
é irracional, e que a soma de um número racional com um irracional é irracional. Vamos usar prova por absurdo e propriedades básicas de números racionais.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
seja racional. Então existem inteiros coprimos
tais que
Elevando ao quadrado,
Isso implica que
é múltiplo de 3, logo
é múltiplo de 3 (porque os quadrados de inteiros são congruentes a 0 ou 1 módulo 3). Escreva
. Substituindo de volta,
o que mostra que
também é múltiplo de 3. Mas isso contradiz o fato de
e
serem coprimos. Logo
não pode ser racional.
Passo 3
Agora suponha, de novo por absurdo, que
seja um número racional . Então
seja um número racional
e isolando
temos
Elevando ao quadrado,
e daí
logo
o que mostra que
seria racional (diferença e quociente de racionais). Mas sabemos que
é irracional, contradição. Portanto
é irracional.
Passo 4
Finalmente, seja
racional e
irracional. Se por absurdo
fosse racional, digamos
, teríamos
que é diferença de dois números racionais, logo racional. Isso contradiz
irracional. Assim a soma de um racional com um irracional é sempre irracional.
Resposta
(a)
é irracional.
(b) é irracional.
© A soma de um racional com um irracional é irracional.
(b)
© A soma de um racional com um irracional é irracional.