Demonstre o seguinte:
(a) Mostre que raiz3 é irracional. (Sugestão: use o facto de que qualquer inteiro é da forma 3 n, 3 n+1, ou 3 n+2.)
(b) Mostre que raiz2+raiz3 é irracional.
© Mostre que a soma de um número racional com um número irracional resulta num número irracional.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar três fatos: que raiz3 é irracional usando aritmética modular (números da forma 3n,3n+1,3n+2), que raiz2+raiz3 é irracional, e que a soma de um número racional com um irracional é irracional. Vamos usar prova por absurdo e propriedades básicas de números racionais.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que raiz3 seja racional. Então existem inteiros coprimos p,q tais que
raiz3=pq
Elevando ao quadrado,
3q^2=p^2
Isso implica que p^2 é múltiplo de 3, logo p é múltiplo de 3 (porque os quadrados de inteiros são congruentes a 0 ou 1 módulo 3). Escreva p=3k. Substituindo de volta,
3q^2=(3k)^2=9k^2Longrightarrow q^2=3k^2,
o que mostra que q também é múltiplo de 3. Mas isso contradiz o fato de p e q serem coprimos. Logo raiz3 não pode ser racional.

Passo 3

Agora suponha, de novo por absurdo, que
r
seja um número racional raiz2+raiz3=r . Então
raiz3
e isolando raiz3=r-raiz2 temos
3=(r-raiz2)^2=r^2-2rraiz2+2
Elevando ao quadrado,
2rraiz2=r^2-1
e daí
raiz2=r^2-12r,
logo
raiz2
o que mostra que raiz2 seria racional (diferença e quociente de racionais). Mas sabemos que raiz2+raiz3 é irracional, contradição. Portanto é irracional.

Passo 4

Finalmente, seja rinQ racional e inotinQ irracional. Se por absurdo r+i fosse racional, digamos s, teríamos
i=(r+i)-r=s-r
que é diferença de dois números racionais, logo racional. Isso contradiz i irracional. Assim a soma de um racional com um irracional é sempre irracional.

Resposta

(a) raiz3 é irracional.
(b) raiz2+raiz3 é irracional.
© A soma de um racional com um irracional é irracional.

Exercícios relacionados