Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico da função dada no ponto indicado.
y=x^3-x+1, ponto (1,1);

Passo 1

O enunciado pede para achar a reta tangente ao gráfico da função y = x^3 - x + 1 no ponto (1,1). O conteúdo envolvido é derivada de funções e aplicação da fórmula da reta tangente usando coeficiente angular m = f'(x0) e ponto (x0,y0).

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada da função para obter o coeficiente angular genérico. Como f(x) = x^3 - x + 1, temos
f'(x) = ddx(x^3) - ddx(x) + ddx(1) = 3x^2 - 1

Passo 3

Em seguida, avaliamos a derivada no ponto x0 = 1 para encontrar o coeficiente angular da reta tangente naquele ponto:
m = f'(1) = 3cdot1^2 - 1 = 3 - 1 = 2

Passo 4

Agora, usamos a fórmula da reta no formato ponto-inclinação:
y - y0 = m(x - x0),
onde (x0,y0) = (1,1) e m = 2. Substituindo, obtemos
y - 1 = 2(x - 1)
Isolando y, temos:
y = 2x - 2 + 1 = 2x - 1

Resposta

y = 2x - 1

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