Demonstre as seguintes identidades:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade
Informações dadas (assumidas necessárias para a demonstração):
-
e são vetores cujas componentes são funções diferenciáveis do parâmetro . - Podemos trabalhar em coordenadas cartesianas com as componentes
O que é pedido: provar que a derivada temporal do produto vetorial satisfaz a regra do produto (análogo à regra do produto para escalares) mostrada acima.
Passo 2
Relembrando a definição componente a componente do produto vetorial: para vetores em
,
Explicando: cada componente do produto vetorial é uma combinação linear (diferença) de produtos de componentes escalares de
e
. Por exemplo, a componente
é
.
Passo 3
Regra do produto para escalares (ferramenta que vamos usar): se
e
são funções diferenciáveis, então
onde
. Também usaremos que a derivada de um vetor é feita componente a componente:
Passo 4
Diferenciando a componente
de
usando a regra do produto para cada termo escalar:
Aplicando a regra do produto a cada produto:
Logo
Agrupando os termos que contêm derivadas de
e os que contêm derivadas de
:
Reconhecendo os padrões: o primeiro parêntese é a componente
de
e o segundo é a componente
de
. Assim
Passo 5
O mesmo cálculo vale para as componentes
e
. Por exemplo, componente
:
que é exatamente
E componente
:
que é
Passo 6
Como as três componentes
satisfazem
concluímos que, como vetores,
Isto é exatamente a identidade pedida. (Interpretação prática: a derivada do produto vetorial segue a regra do produto, porque cada componente é soma/diferença de produtos escalares e a derivada actua componente a componente.)
Passo 7
Comentário extra rápido e útil: a prova acima usa apenas que a derivada é linear e que a regra do produto vale para escalares. Alternativamente, pode-se escrever o produto vetorial usando o símbolo de Levi-Civita
e provar a identidade de forma compacta:
o que reescreve a mesma igualdade vetorial. Mas a demonstração por componentes elementares é suficiente e direta para a prova em prova de primeira linha.