Demonstre as seguintes identidades:
\frac{d}{d t}(\vec{A} \times \vec{B})=\left(\frac{d}{d t} \vec{A}\right) \times \vec{B}+\vec{A} \times\left(\frac{d}{d t} \vec{B}\right)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade
\frac{d}{dt}\bigl(\vec{A}\times\vec{B}\bigr)=\Bigl(\frac{d}{dt}\vec{A}\Bigr)\times\vec{B}+\vec{A}\times\Bigl(\frac{d}{dt}\vec{B}\Bigr).
Informações dadas (assumidas necessárias para a demonstração):
  • \vec{A}=\vec{A}(t) e \vec{B}=\vec{B}(t) são vetores cujas componentes são funções diferenciáveis do parâmetro t.
  • Podemos trabalhar em coordenadas cartesianas com as componentes
\vec{A}(t)=\bigl(A_x(t),A_y(t),A_z(t)\bigr),\qquad \vec{B}(t)=\bigl(B_x(t),B_y(t),B_z(t)\bigr).
O que é pedido: provar que a derivada temporal do produto vetorial satisfaz a regra do produto (análogo à regra do produto para escalares) mostrada acima.

Passo 2

Relembrando a definição componente a componente do produto vetorial: para vetores em \mathbb{R}^3,
\vec{A}\times\vec{B}=\bigl(A_y B_z-A_z B_y,\;A_z B_x-A_x B_z,\;A_x B_y-A_y B_x\bigr).
Explicando: cada componente do produto vetorial é uma combinação linear (diferença) de produtos de componentes escalares de \vec{A} e \vec{B}. Por exemplo, a componente x é ( \vec{A}\times\vec{B} )_x = A_y B_z - A_z B_y.

Passo 3

Regra do produto para escalares (ferramenta que vamos usar): se f(t) e g(t) são funções diferenciáveis, então
\frac{d}{dt}\bigl(f(t)g(t)\bigr)=\dot f(t)\,g(t)+f(t)\,\dot g(t),
onde \dot f(t)=\dfrac{d}{dt}f(t). Também usaremos que a derivada de um vetor é feita componente a componente:
\frac{d}{dt}\vec{A}(t)=\bigl(\dot A_x(t),\dot A_y(t),\dot A_z(t)\bigr).

Passo 4

Diferenciando a componente x de \vec{A}\times\vec{B} usando a regra do produto para cada termo escalar:
\frac{d}{dt}\bigl(\vec{A}\times\vec{B}\bigr)_x =\frac{d}{dt}\bigl(A_y B_z - A_z B_y\bigr).
Aplicando a regra do produto a cada produto:
\frac{d}{dt}\bigl(A_y B_z\bigr)=\dot A_y B_z + A_y \dot B_z, \qquad \frac{d}{dt}\bigl(A_z B_y\bigr)=\dot A_z B_y + A_z \dot B_y.
Logo
\frac{d}{dt}\bigl(\vec{A}\times\vec{B}\bigr)_x =(\dot A_y B_z + A_y \dot B_z) - (\dot A_z B_y + A_z \dot B_y).
Agrupando os termos que contêm derivadas de \vec{A} e os que contêm derivadas de \vec{B}:
\frac{d}{dt}\bigl(\vec{A}\times\vec{B}\bigr)_x =(\dot A_y B_z - \dot A_z B_y) + (A_y \dot B_z - A_z \dot B_y).
Reconhecendo os padrões: o primeiro parêntese é a componente x de \dot{\vec{A}}\times\vec{B} e o segundo é a componente x de \vec{A}\times\dot{\vec{B}}. Assim
\frac{d}{dt}\bigl(\vec{A}\times\vec{B}\bigr)_x =\bigl(\dot{\vec{A}}\times\vec{B}\bigr)_x + \bigl(\vec{A}\times\dot{\vec{B}}\bigr)_x.

Passo 5

O mesmo cálculo vale para as componentes y e z. Por exemplo, componente y:
\frac{d}{dt}\bigl(\vec{A}\times\vec{B}\bigr)_y =\frac{d}{dt}\bigl(A_z B_x - A_x B_z\bigr) =(\dot A_z B_x - \dot A_x B_z) + (A_z \dot B_x - A_x \dot B_z),
que é exatamente
\bigl(\dot{\vec{A}}\times\vec{B}\bigr)_y + \bigl(\vec{A}\times\dot{\vec{B}}\bigr)_y.
E componente z:
\frac{d}{dt}\bigl(\vec{A}\times\vec{B}\bigr)_z =\frac{d}{dt}\bigl(A_x B_y - A_y B_x\bigr) =(\dot A_x B_y - \dot A_y B_x) + (A_x \dot B_y - A_y \dot B_x),
que é
\bigl(\dot{\vec{A}}\times\vec{B}\bigr)_z + \bigl(\vec{A}\times\dot{\vec{B}}\bigr)_z.

Passo 6

Como as três componentes x,y,z satisfazem
\frac{d}{dt}\bigl(\vec{A}\times\vec{B}\bigr)_i =\bigl(\dot{\vec{A}}\times\vec{B}\bigr)_i + \bigl(\vec{A}\times\dot{\vec{B}}\bigr)_i \qquad\text{para }i\in\{x,y,z\},
concluímos que, como vetores,
\frac{d}{dt}\bigl(\vec{A}\times\vec{B}\bigr) =\dot{\vec{A}}\times\vec{B}+\vec{A}\times\dot{\vec{B}}.
Isto é exatamente a identidade pedida. (Interpretação prática: a derivada do produto vetorial segue a regra do produto, porque cada componente é soma/diferença de produtos escalares e a derivada actua componente a componente.)

Passo 7

Comentário extra rápido e útil: a prova acima usa apenas que a derivada é linear e que a regra do produto vale para escalares. Alternativamente, pode-se escrever o produto vetorial usando o símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{ijk} e provar a identidade de forma compacta:
(\vec{A}\times\vec{B})_i=\varepsilon_{ijk}A_j B_k \quad\Rightarrow\quad \frac{d}{dt}(\vec{A}\times\vec{B})_i =\varepsilon_{ijk}\dot A_j B_k + \varepsilon_{ijk}A_j \dot B_k,
o que reescreve a mesma igualdade vetorial. Mas a demonstração por componentes elementares é suficiente e direta para a prova em prova de primeira linha.

Resposta

\frac{d}{d t}\bigl(\vec{A}\times\vec{B}\bigr)=\Bigl(\frac{d}{d t}\vec{A}\Bigr)\times\vec{B}+\vec{A}\times\Bigl(\frac{d}{d t}\vec{B}\Bigr).

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