Demonstre as seguintes identidades:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade
Informações/dados que temos (assuma que
e
são funções escalares suficientemente suaves, digamos
, definidas numa região de
):
-
e são campos escalares (funções reais de ); -
é o operador nabla (gradiente/divergência conforme o contexto); - Queremos provar a igualdade mostrada envolvendo divergência, gradiente e Laplaciano.
Passo 2
Definições básicas — gradiente. Para um campo escalar
o gradiente é o vetor das derivadas parciais:
onde
significa
, etc. Intuição: o gradiente aponta na direção de maior aumento de
e cada componente é a taxa de variação em cada eixo.
Passo 3
Definição básica — divergência. Para um campo vetorial
a divergência é a soma das derivadas parciais das componentes:
Intuição: divergência mede a “taxa líquida” de saída do campo vetorial de um ponto.
Passo 4
Definição básica — Laplaciano. Para um escalar
,
onde
, etc. É a divergência do gradiente.
Passo 5
Regra do produto para divergência de um escalar vezes um vetor. Seja
um escalar e
um vetor; então vale
Prova componente a componente:
, então
Aplicando a regra do produto para derivadas ordinárias em cada termo:
e análogos para
. Somando os três termos obtemos exatamente
ou seja
.
Passo 6
Aplicar a regra do Passo 5 ao primeiro termo da identidade pedida, tomando
e
. Assim
Usando a definição do Laplaciano
, obtemos
Passo 7
Aplicar a mesma regra ao segundo termo, com
e
. Isso dá
Passo 8
Observar que o produto escalar é comutativo:
. Subtraindo as expressões dos Passos 6 e 7,
pois os termos
se cancelam.]
Passo 9
Concluímos que a identidade é verdadeira para funções
com derivadas parciais suficientes (por exemplo
). A demonstração foi feita usando a definição de gradiente, divergência, Laplaciano e a regra do produto para derivadas.