Demonstre as seguintes identidades:
\vec{\nabla} \cdot(f \vec{\nabla} g)-\vec{\nabla} \cdot(g \vec{\nabla} f)=f \nabla^{2} g-g \nabla^{2} f

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade
\vec{\nabla}\cdot(f\vec{\nabla} g)-\vec{\nabla}\cdot(g\vec{\nabla} f)=f\nabla^{2} g-g\nabla^{2} f.
Informações/dados que temos (assuma que f e g são funções escalares suficientemente suaves, digamos C^{2}, definidas numa região de \mathbb{R}^{3}):
  • f e g são campos escalares (funções reais de (x,y,z));
  • \vec{\nabla} é o operador nabla (gradiente/divergência conforme o contexto);
  • Queremos provar a igualdade mostrada envolvendo divergência, gradiente e Laplaciano.

Passo 2

Definições básicas — gradiente. Para um campo escalar g(x,y,z) o gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\vec{\nabla} g = \bigl(\partial_{x} g,\\ \partial_{y} g,\\ \partial_{z} g\bigr),
onde \partial_{x}g significa \dfrac{\partial g}{\partial x}, etc. Intuição: o gradiente aponta na direção de maior aumento de g e cada componente é a taxa de variação em cada eixo.

Passo 3

Definição básica — divergência. Para um campo vetorial \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) a divergência é a soma das derivadas parciais das componentes:
\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\partial_{x}A_x+\partial_{y}A_y+\partial_{z}A_z.
Intuição: divergência mede a “taxa líquida” de saída do campo vetorial de um ponto.

Passo 4

Definição básica — Laplaciano. Para um escalar g,
\nabla^{2}g=\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla} g)=\partial_{xx}g+\partial_{yy}g+\partial_{zz}g,
onde \partial_{xx}g=\partial_{x}(\partial_{x}g), etc. É a divergência do gradiente.

Passo 5

Regra do produto para divergência de um escalar vezes um vetor. Seja \varphi um escalar e \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) um vetor; então vale
\vec{\nabla}\cdot(\varphi\vec{A})=\vec{\nabla}\varphi\cdot\vec{A}+\varphi\,\vec{\nabla}\cdot\vec{A}.
Prova componente a componente: \varphi\vec{A}=(\varphi A_x,\varphi A_y,\varphi A_z), então
\vec{\nabla}\cdot(\varphi\vec{A})=\partial_x(\varphi A_x)+\partial_y(\varphi A_y)+\partial_z(\varphi A_z).
Aplicando a regra do produto para derivadas ordinárias em cada termo:
\partial_x(\varphi A_x)=(\partial_x\varphi)A_x+\varphi(\partial_x A_x),
e análogos para y,z. Somando os três termos obtemos exatamente
(\partial_x\varphi,\partial_y\varphi,\partial_z\varphi)\cdot(A_x,A_y,A_z)+\varphi(\partial_x A_x+\partial_y A_y+\partial_z A_z),
ou seja \vec{\nabla}\varphi\cdot\vec{A}+\varphi\,\vec{\nabla}\cdot\vec{A}.

Passo 6

Aplicar a regra do Passo 5 ao primeiro termo da identidade pedida, tomando \varphi=f e \vec{A}=\vec{\nabla} g. Assim
\vec{\nabla}\cdot(f\vec{\nabla} g)=\vec{\nabla}f\cdot\vec{\nabla} g + f\,\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla} g).
Usando a definição do Laplaciano \vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla} g)=\nabla^{2}g, obtemos
\vec{\nabla}\cdot(f\vec{\nabla} g)=\vec{\nabla}f\cdot\vec{\nabla} g + f\,\nabla^{2} g.

Passo 7

Aplicar a mesma regra ao segundo termo, com \varphi=g e \vec{A}=\vec{\nabla} f. Isso dá
\vec{\nabla}\cdot(g\vec{\nabla} f)=\vec{\nabla}g\cdot\vec{\nabla} f + g\,\nabla^{2} f.

Passo 8

Observar que o produto escalar é comutativo: \vec{\nabla}f\cdot\vec{\nabla}g=\vec{\nabla}g\cdot\vec{\nabla}f. Subtraindo as expressões dos Passos 6 e 7,
\begin{aligned} \vec{\nabla}\cdot(f\vec{\nabla} g)-\vec{\nabla}\cdot(g\vec{\nabla} f) &=\bigl(\vec{\nabla}f\cdot\vec{\nabla} g + f\,\nabla^{2} g\bigr)-\bigl(\vec{\nabla}g\cdot\vec{\nabla} f + g\,\nabla^{2} f\bigr)\\[4pt] &=f\,\nabla^{2} g - g\,\nabla^{2} f, \end{aligned}
pois os termos \vec{\nabla}f\cdot\vec{\nabla} g se cancelam.]

Passo 9

Concluímos que a identidade é verdadeira para funções f,g com derivadas parciais suficientes (por exemplo C^{2}). A demonstração foi feita usando a definição de gradiente, divergência, Laplaciano e a regra do produto para derivadas.

Resposta

\vec{\nabla}\cdot(f\vec{\nabla} g)-\vec{\nabla}\cdot(g\vec{\nabla} f)=f\nabla^{2} g-g\nabla^{2} f.

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