Considere uma casca esférica de carga Q uniformemente distribuída sobre sua superfície de raio R. A uma distância r do centro da casca, é colocada uma carga pontual q. Ecnontre a energia potencial do sistema e seu gráfico como função de r.

Passo 1

O enunciado dá uma casca esférica com carga total Q distribuída uniformemente sobre a superfície de raio R. Uma carga pontual q é colocada a uma distância r do centro da casca. O que se pede:
  • Encontrar a energia potencial eletrostática do sistema em função de r.
  • Mostrar (descrever) o gráfico dessa energia em função de r.
Informações relevantes fornecidas:
  • Carga da casca: Q (distribuída sobre a superfície, raio R).
  • Raio da casca: R.
  • Carga pontual: q.
  • Distância do centro até a carga pontual: r (variável).
  • Constante elétrica do meio: \epsilon_0 (no vácuo) — vou usar k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} para simplificar as fórmulas.

Passo 2

Entender o campo elétrico criado pela casca esférica (isso é chave para obter o potencial).
  • Uso do Teorema de Gauss (explicando a ideia): escolha uma superfície gaussiana esférica concêntrica de raio s. Pela simetria, o campo elétrico tem módulo E(s) radial e constante sobre essa superfície. Gauss diz:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0}.
  • Para s>R a carga Q está toda dentro da superfície, então Q_{\text{int}}=Q. A área da esfera é 4\pi s^2, logo
E(s)\cdot 4\pi s^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E(s)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{s^2}=k\frac{Q}{s^2}.
  • Para s<R nenhuma carga está dentro da superfície (toda carga está na casca exterior), então Q_{\text{int}}=0 e
E(s)=0\quad\text{para }s<R.
Resumo: o campo é igual ao de uma carga pontual Q localizada no centro quando s>R, e é nulo dentro ( s<R).

Passo 3

Calcular o potencial elétrico \,V(r)\, devido à casca, escolhendo referência V(\infty)=0.
  • Definição: o potencial em r é
V(r) = -\int_{\infty}^{r} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
Como o campo é radial, a integral reduz a uma integral em s do infinito até r.
Caso r\ge R (fora da casca):
V(r) = -\int_{\infty}^{r} E(s)\,ds = -\int_{\infty}^{r} k\frac{Q}{s^2}\,ds.
Calcule a integral passo a passo:
-\int_{\infty}^{r} kQ s^{-2}\,ds = -kQ\left[ -s^{-1} \right]_{\infty}^{r} = -kQ\left( -\frac{1}{r} - 0 \right) = k\frac{Q}{r}.
Portanto
V(r)=k\frac{Q}{r}\quad\text{para }r\ge R.
Caso r\le R (dentro da casca): como E(s)=0 para s<R, o potencial dentro é constante e igual ao valor na superfície r=R:
V(r)=V(R)=k\frac{Q}{R}\quad\text{para }r\le R.
Observação importante: o potencial é contínuo em r=R (mesmo valor vindo de fora e de dentro).

Passo 4

Obter a energia potencial do sistema associada à interação entre a carga pontual q e a casca carregada.
  • Conceito usado: a energia potencial de interação de uma carga q colocada num ponto onde o potencial é V é
U_{\text{int}} = q\,V.
Aqui queremos a energia que depende de r, ou seja, a energia de interação entre q e a casca. (A energia total do sistema incluiria também a energia de autoenergia da casca e a autoenergia da carga pontual; a autoenergia da carga pontual pontual é problemática/infinita em modelo de ponto. Esses termos não dependem de r ou são constantes, então a dependência em r vem da interação qV(r).)
Portanto substituindo V(r) do Passo 3:
  • Para r\ge R:
U(r)=q\cdot k\frac{Q}{r}=k\frac{qQ}{r}.
  • Para r\le R:
U(r)=q\cdot k\frac{Q}{R}=k\frac{qQ}{R}.

Passo 5

Interpretação física e detalhes úteis para a prova (como usar essas fórmulas rapidamente).
  • Constância interior: para r<R a energia é constante; isso significa que o trabalho necessário para mover q dentro da cavidade (mantendo a casca fixa) é zero — dentro da casca não existe força eletrostática (campo nulo).
  • Força a partir da energia: a força radial sobre q é \,F_r=-\dfrac{dU}{dr}\,. Assim:
    • Para r>R,
    F_r = -\frac{d}{dr}\left(k\frac{qQ}{r}\right) = -k\frac{qQ}{r^2}.O sinal indica direção: se qQ>0 a força é negativa (repulsiva, aponta para fora do centro), se qQ<0 é positiva (atrativa, aponta para o centro).
    • Para r<R, U é constante então F_r=0.
  • Continuidade: U(r) é contínua em r=R; a derivada tem descontinuidade na fronteira (força salta de -k qQ/R^2 para 0 ao entrar na casca).

Passo 6

Descrição do gráfico de U(r) em função de r:
  • Para r>R: curva do tipo 1/r (hiperbólica), tendendo a 0 quando r\to\infty e indo para kqQ/R quando r\to R^+.
  • Em r=R: valor \;U(R)=k\frac{qQ}{R}.
  • Para 0\le r<R: linha horizontal (constante) igual a k\frac{qQ}{R}.
  • Assim o gráfico é uma hipérbole para r>R que se “apoi a” numa reta horizontal para r\le R. O valor e o sinal da curva dependem do produto qQ: se qQ>0 o gráfico fica acima do eixo U=0; se qQ<0 fica abaixo.

Resposta

U(r)= \begin{cases} k\dfrac{qQ}{r}, & r\ge R,\\[6pt] k\dfrac{qQ}{R}, & r\le R, \end{cases}
onde k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}.]

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