Demonstre as seguintes identidades:
nabla. (nabla times A)=0, onde V e A são campos escalares e vetoriais, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um campo vetorial A cujas componentes têm derivadas parciais contínuas de segunda ordem, vale
nablacdot(nablatimesA)=0
O tema é cálculo vetorial: definimos o operador nabla, o rotacional ( nablatimes) e a divergente ( nablacdot), e usaremos a comutatividade de derivadas parciais (Teorema de Schwarz).

Passo 2

Em coordenadas cartesianas, escrevemos
nabla = l(partialpartial x,;partialpartial y,;partialpartial zr), A = l(Ax(x,y,z),,Ay(x,y,z),,Az(x,y,z)r)

Passo 3

Pela definição de rotacional, temos
nablatimesA =l(partial Azpartial y-partial Aypartial z,; partial Axpartial z-partial Azpartial x,; partial Aypartial x-partial Axpartial yr)

Passo 4

Agora aplicamos a divergente ao vetor nablatimesA:
nablacdot(nablatimesA) =partialpartial xl(partial Azpartial y-partial Aypartial zr) +partialpartial yl(partial Axpartial z-partial Azpartial xr) +partialpartial zl(partial Aypartial x-partial Axpartial yr)

Passo 5

Expandindo cada termo e reagrupando, obtemos seis derivadas mistas:
partial^2 Azpartial xpartial y -partial^2 Aypartial xpartial z +partial^2 Axpartial ypartial z -partial^2 Azpartial ypartial x +partial^2 Aypartial zpartial x -partial^2 Axpartial zpartial y
Como as derivadas parciais de segunda ordem comutam, por exemplo
partial^2 Az/(partial xpartial y)=partial^2 Az/(partial ypartial x), cada termo cancela seu par, e a soma é zero.

Resposta

nablacdot(nablatimesA)=0

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