Demonstre as seguintes identidades:
.
, onde V e A são campos escalares e vetoriais, respectivamente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um campo vetorial
cujas componentes têm derivadas parciais contínuas de segunda ordem, vale
O tema é cálculo vetorial: definimos o operador nabla, o rotacional (
) e a divergente (
), e usaremos a comutatividade de derivadas parciais (Teorema de Schwarz).
Passo 2
Em coordenadas cartesianas, escrevemos
Passo 3
Pela definição de rotacional, temos
Passo 4
Agora aplicamos a divergente ao vetor
:
Passo 5
Expandindo cada termo e reagrupando, obtemos seis derivadas mistas:
Como as derivadas parciais de segunda ordem comutam, por exemplo
, cada termo cancela seu par, e a soma é zero.