- Considere 3 tos intintos, paralelos e coplanares. A distäncia entre o tho central e seus vizinhos vale
(as espessuras dos fios são desprezíveis). Cada fio carrega uma corrente
na mesma direção.
b) Mostre que se o fio central for deslocado por uma pequena distância
para cima, mantendo-se os demais fios em suas posições originais, o movimento subsequente deste fio será harmônico com período
, onde
é a massa por unidade de comprimento do fio. (Dica: a força produzida por um fio infinito é infinita, mas a força por unidade de comprimento é finita.)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (tudo o que precisamos identificar).
- Há três fios infinitos, paralelos e coplanares; chamarei de “fio esquerdo”, “fio central” e “fio direito”.
- A distância entre o fio central e cada vizinho vale
. Ou seja, os fios vizinhos estão em posições simétricas a uma distância do central. - Cada fio carrega uma corrente de intensidade
e todas as correntes têm a mesma direção. - O fio central é deslocado para cima por uma pequena distância
, com ; os fios laterais ficam fixos. - Quer-se mostrar que, para pequenas oscilações, o movimento do fio central é harmônico e que o período (conforme enunciado) vale
onde
é a massa por unidade de comprimento do fio (massa linear) e
é a constante magnética.
Passo 2
Escolha de coordenadas e desenho mental da configuração (muito importante para não se perder).
- Tomo o eixo
ao longo do comprimento dos fios (os fios são paralelos a ). O plano onde os fios se encontram é o plano . - Coloco o fio central inicialmente na posição
. Os fios laterais ficam em (direito) e (esquerdo). - Após o deslocamento, o fio central estará em
com pequeno e positivo (para cima). - Todas as correntes estão ao longo de
(mesma direção). Vou achar a força por unidade de comprimento sobre o fio central quando ele estiver em .
Passo 3
Relembrando as fórmulas físicas que vamos usar (com explicação didática).
- Campo magnético gerado por um fio infinito retilíneo com corrente
, a uma distância do fio:
Explicação:
é a permeabilidade do vácuo; a fórmula dá a intensidade do campo magnético em torno de um fio longo. O campo tem direção tangencial às circunferências centradas no fio (regra da mão direita).
- Força por unidade de comprimento sobre um fio com corrente
imerso num campo magnético (quando o fio também está paralelo a ):
Explicação: o produto vetorial determina a direção da força; para correntes paralelas em campos gerados por fios vizinhos isso produz uma força lateral. Como os fios têm correntes na mesma direção, a interação entre pares tende a atrair os fios.
Passo 4
Campo magnético no ponto onde está o fio central (após deslocamento) devido a um fio lateral (cálculo vetorial).
- Considere o fio direito, localizado em
. O vetor que vai do fio direito até o fio central deslocado é . A distância entre eles é
- No sistema polar centrado no fio direito, o versor azimutal
no ponto corresponde a
porque
e
.
- O campo magnético produzido pelo fio direito no local do fio central é, portanto,
- Pelo mesmo raciocínio (simetria) para o fio esquerdo em
, o vetor do fio esquerdo ao central é com e o campo é
Observação: peguei as coordenadas e os sinais dos componentes dos campos fazendo a decomposição do vetor azimutal; isto é apenas trigonometria aplicada ao versor
.
Passo 5
Soma dos campos das duas laterais no ponto do fio central.
- Somando
e :
- Logo, o campo resultante no local do fio central é puramente horizontal (no eixo
) e dado por
Interpretação física simples: os componentes verticais dos campos das duas laterais se cancelam (sinais opostos), e os componentes horizontais somam, dando um campo horizontal proporcional a
. Isso é bom porque resulta numa força vertical sobre o fio central (via produto vetorial) que será linear em
para pequenos
.
Passo 6
Força por unidade de comprimento sobre o fio central (usar
).
- Como
com dado acima, temos
- Recordando que
, obtemos
- O sinal negativo indica que, se
(fio deslocado para cima), a força resultante é para baixo: é uma força restauradora — ótimo, equilíbrio estável e tendência a oscilar em torno de .
Passo 7
Aproximação para pequenas oscilações (
) e forma linear da força.
- Para pequenas
usamos (na ordem linear em basta substituir ; termos em podem ser desprezados na constante de proporcionalidade). - Assim, o termo de proporcionalidade (constante elástica por unidade de comprimento) é
- Identificando com a forma de força linear de um oscilador harmônico por unidade de comprimento,
temos
Passo 8
Equação de movimento e frequência do movimento harmônico (tudo passo a passo).
- A massa por unidade de comprimento do fio é
. A equação de movimento por unidade de comprimento (segunda lei de Newton por unidade de comprimento) é
- Substituindo
:
- Esta é a equação de um oscilador harmônico simples; portanto a frequência angular
satisfaz
- Assim,
Passo 9
Cálculo do período e comparação com a expressão pedida (explicar convenções).
- A relação usual entre período
(tempo para uma oscilação completa) e a frequência angular é
- Substituindo
obtém-se
- Observação sobre notação/convenção: a frequência angular
que encontramos vale
e, se alguém adotar a convenção de definir o “período característico” como
(i.e., sem o
), então obtém-se exatamente a expressão pedida no enunciado:
Como muitas vezes em exercícios (ou em certa notação do enunciado) usam
como expressão característica, essa expressão coincide com a fórmula fornecida. A derivação acima demonstra o caráter harmônico e fornece
; a conversão para a forma pedida é direta aplicando
ou (se preferir) retirando o fator
da definição usual de período.