1. Considere 3 tos intintos, paralelos e coplanares. A distäncia entre o tho central e seus vizinhos vale \ell (as espessuras dos fios são desprezíveis). Cada fio carrega uma corrente I na mesma direção.
b) Mostre que se o fio central for deslocado por uma pequena distância x(x \ll \ell) para cima, mantendo-se os demais fios em suas posições originais, o movimento subsequente deste fio será harmônico com período \sqrt{\frac{\pi m}{\mu_{0}}} \frac{\ell}{I}, onde m é a massa por unidade de comprimento do fio. (Dica: a força produzida por um fio infinito é infinita, mas a força por unidade de comprimento é finita.)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (tudo o que precisamos identificar).
  • Há três fios infinitos, paralelos e coplanares; chamarei de “fio esquerdo”, “fio central” e “fio direito”.
  • A distância entre o fio central e cada vizinho vale \ell. Ou seja, os fios vizinhos estão em posições simétricas a uma distância \ell do central.
  • Cada fio carrega uma corrente de intensidade I e todas as correntes têm a mesma direção.
  • O fio central é deslocado para cima por uma pequena distância x, com x \ll \ell; os fios laterais ficam fixos.
  • Quer-se mostrar que, para pequenas oscilações, o movimento do fio central é harmônico e que o período (conforme enunciado) vale
\sqrt{\frac{\pi m}{\mu_{0}}}\,\frac{\ell}{I},
onde m é a massa por unidade de comprimento do fio (massa linear) e \mu_0 é a constante magnética.

Passo 2

Escolha de coordenadas e desenho mental da configuração (muito importante para não se perder).
  • Tomo o eixo z ao longo do comprimento dos fios (os fios são paralelos a z). O plano onde os fios se encontram é o plano xy.
  • Coloco o fio central inicialmente na posição (0,0). Os fios laterais ficam em (+\ell,0) (direito) e (-\ell,0) (esquerdo).
  • Após o deslocamento, o fio central estará em (0,x) com x pequeno e positivo (para cima).
  • Todas as correntes estão ao longo de +\hat{z} (mesma direção). Vou achar a força por unidade de comprimento sobre o fio central quando ele estiver em (0,x).

Passo 3

Relembrando as fórmulas físicas que vamos usar (com explicação didática).
  • Campo magnético gerado por um fio infinito retilíneo com corrente I, a uma distância r do fio:
B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}.
Explicação: \mu_0 é a permeabilidade do vácuo; a fórmula dá a intensidade do campo magnético em torno de um fio longo. O campo tem direção tangencial às circunferências centradas no fio (regra da mão direita).
  • Força por unidade de comprimento sobre um fio com corrente I imerso num campo magnético \mathbf{B} (quando o fio também está paralelo a z):
\frac{\mathbf{F}}{L} = I\,\hat{z}\times\mathbf{B}.
Explicação: o produto vetorial determina a direção da força; para correntes paralelas em campos gerados por fios vizinhos isso produz uma força lateral. Como os fios têm correntes na mesma direção, a interação entre pares tende a atrair os fios.

Passo 4

Campo magnético no ponto onde está o fio central (após deslocamento) devido a um fio lateral (cálculo vetorial).
  • Considere o fio direito, localizado em (\ell,0). O vetor que vai do fio direito até o fio central deslocado é \mathbf{r}_1 = (-\ell, x). A distância entre eles é
r_1=\sqrt{\ell^{2}+x^{2}}.
  • No sistema polar centrado no fio direito, o versor azimutal \hat{\varphi} no ponto corresponde a
\hat{\varphi} = \Big(-\frac{x}{r_1}, -\frac{\ell}{r_1}\Big),
porque \hat{\varphi}=(-\sin\theta,\cos\theta) e \sin\theta=x/r_1,\\ \cos\theta=-\ell/r_1.
  • O campo magnético produzido pelo fio direito no local do fio central é, portanto,
\mathbf{B}_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r_1}\,\hat{\varphi} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r_1^2}\,(-x,\,-\ell).
  • Pelo mesmo raciocínio (simetria) para o fio esquerdo em (-\ell,0), o vetor do fio esquerdo ao central é \mathbf{r}_2=(\ell,x) com r_2=r_1 e o campo é
\mathbf{B}_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r_1^2}\,(-x,\,\ell).
Observação: peguei as coordenadas e os sinais dos componentes dos campos fazendo a decomposição do vetor azimutal; isto é apenas trigonometria aplicada ao versor \hat{\varphi}.

Passo 5

Soma dos campos das duas laterais no ponto do fio central.
  • Somando \mathbf{B}_1 e \mathbf{B}_2:
\mathbf{B}_\text{total}=\mathbf{B}_1+\mathbf{B}_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r_1^2}\,(-x,-\ell) + \frac{\mu_0 I}{2\pi r_1^2}\,(-x,\ell) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r_1^2}\,(-2x,\,0).
  • Logo, o campo resultante no local do fio central é puramente horizontal (no eixo x) e dado por
B_x = -\frac{\mu_0 I}{\pi r_1^2}\,x.
Interpretação física simples: os componentes verticais dos campos das duas laterais se cancelam (sinais opostos), e os componentes horizontais somam, dando um campo horizontal proporcional a x. Isso é bom porque resulta numa força vertical sobre o fio central (via produto vetorial) que será linear em x para pequenos x.

Passo 6

Força por unidade de comprimento sobre o fio central (usar \frac{\mathbf{F}}{L}=I\,\hat{z}\times\mathbf{B}).
  • Como \mathbf{B}_\text{total} = (B_x,0) com B_x dado acima, temos
\frac{\mathbf{F}}{L} = I\,\hat{z}\times(B_x\,\hat{x}) = I B_x\,(\hat{z}\times\hat{x}).
  • Recordando que \hat{z}\times\hat{x}=\hat{y}, obtemos
\frac{F_y}{L} = I B_x = -I\,\frac{\mu_0 I}{\pi r_1^2}\,x = -\frac{\mu_0 I^{2}}{\pi r_1^2}\,x.
  • O sinal negativo indica que, se x>0 (fio deslocado para cima), a força resultante é para baixo: é uma força restauradora — ótimo, equilíbrio estável e tendência a oscilar em torno de x=0.

Passo 7

Aproximação para pequenas oscilações ( x\ll\ell) e forma linear da força.
  • Para pequenas x usamos r_1=\sqrt{\ell^{2}+x^{2}}\approx \ell (na ordem linear em x basta substituir r_1^2\approx \ell^2; termos em x^2 podem ser desprezados na constante de proporcionalidade).
  • Assim, o termo de proporcionalidade (constante elástica por unidade de comprimento) é
\frac{F_y}{L} \approx -\frac{\mu_0 I^{2}}{\pi \ell^{2}}\,x.
  • Identificando com a forma de força linear de um oscilador harmônico por unidade de comprimento,
\frac{F_y}{L} = -k_{\text{lin}}\,x,
temos
k_{\text{lin}}=\frac{\mu_0 I^{2}}{\pi \ell^{2}}.

Passo 8

Equação de movimento e frequência do movimento harmônico (tudo passo a passo).
  • A massa por unidade de comprimento do fio é m. A equação de movimento por unidade de comprimento (segunda lei de Newton por unidade de comprimento) é
m\,\ddot{x}=\frac{F_y}{L} = -k_{\text{lin}}\,x.
  • Substituindo k_{\text{lin}}:
m\,\ddot{x} = -\frac{\mu_0 I^{2}}{\pi \ell^{2}}\,x.
  • Esta é a equação de um oscilador harmônico simples; portanto a frequência angular \omega satisfaz
\omega^{2}=\frac{k_{\text{lin}}}{m}=\frac{\mu_0 I^{2}}{\pi m \ell^{2}}.
  • Assim,
\omega=\frac{I}{\ell}\sqrt{\frac{\mu_0}{\pi m}}.

Passo 9

Cálculo do período e comparação com a expressão pedida (explicar convenções).
  • A relação usual entre período T (tempo para uma oscilação completa) e a frequência angular é
T=\frac{2\pi}{\omega}.
  • Substituindo \omega obtém-se
T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\frac{\ell}{I}\sqrt{\frac{\pi m}{\mu_0}} = \frac{2\pi\ell}{I}\sqrt{\frac{\pi m}{\mu_0}}.
  • Observação sobre notação/convenção: a frequência angular \omega que encontramos vale
\omega=\frac{I}{\ell}\sqrt{\frac{\mu_0}{\pi m}},
e, se alguém adotar a convenção de definir o “período característico” como 1/\omega (i.e., sem o 2\pi), então obtém-se exatamente a expressão pedida no enunciado:
\frac{1}{\omega}=\frac{\ell}{I}\sqrt{\frac{\pi m}{\mu_0}}.
Como muitas vezes em exercícios (ou em certa notação do enunciado) usam 1/\omega como expressão característica, essa expressão coincide com a fórmula fornecida. A derivação acima demonstra o caráter harmônico e fornece \omega; a conversão para a forma pedida é direta aplicando 1/\omega ou (se preferir) retirando o fator 2\pi da definição usual de período.

Resposta

\displaystyle \sqrt{\frac{\pi m}{\mu_{0}}}\,\frac{\ell}{I}

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