Demonstre as seguintes regras do produto:
nabla times(f A)=f(nabla times A)-A times(nabla f).

Passo 1

Nesse exercício a gente precisa demonstrar a regra do produto envolvendo o rotacional (curl) de um escalar vezes um vetor: nabla times (f A) = f (nabla times A) - A times (nabla f). O assunto é cálculo vetorial e a gente vai precisar da definição do rotacional usando o símbolo de Levi-Civita e da regra do produto para derivadas.

Passo 2

Lembrando que o rotacional de um campo vetorial A tem componentes dados por
(nabla times A)i = epsilonijk partialj Ak
e que o gradiente de um escalar f tem componentes (nabla f)j = partialj f.

Passo 3

Agora aplicamos essa definição ao produto f A:
(nabla times (f A))i = epsilonijk partialj (f Ak)

Passo 4

Usamos a regra do produto para derivada: partialj (f Ak) = (partialj f) Ak + f partialj Ak.

Passo 5

Substituindo na expressão do rotacional a gente tem:
(nabla times (f A))i = epsilonijk l((partialj f) Ak + f partialj Akr) = epsilonijk (partialj f) Ak + epsilonijk f partialj Ak

Passo 6

O segundo termo é justamente f (nabla times A)i, e o primeiro termo é o componente i de nabla f times A, pois
(nabla f times A)i = epsilonijk (partialj f) Ak
Como A times nabla f = - (nabla f times A), chegamos ao resultado desejado.

Resposta

nabla times (f A) = f (nabla times A) - A times (nabla f)

Exercícios relacionados