Demonstre as seguintes regras do produto:
.
Passo 1
Nesse exercício a gente precisa demonstrar a regra do produto envolvendo o rotacional (curl) de um escalar vezes um vetor:
. O assunto é cálculo vetorial e a gente vai precisar da definição do rotacional usando o símbolo de Levi-Civita e da regra do produto para derivadas.
Passo 2
Lembrando que o rotacional de um campo vetorial
tem componentes dados por
e que o gradiente de um escalar
tem componentes
.
Passo 3
Agora aplicamos essa definição ao produto
:
Passo 4
Usamos a regra do produto para derivada:
.
Passo 5
Substituindo na expressão do rotacional a gente tem:
Passo 6
O segundo termo é justamente
, e o primeiro termo é o componente
de
, pois
Como
, chegamos ao resultado desejado.