Demonstre que os seguintes vetores são perpendiculares:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que dois vetores dados são perpendiculares.
As informações fornecidas são os dois vetores:
As informações fornecidas são os dois vetores:
Portanto a tarefa é mostrar, usando essas informações, que os vetores
e
são perpendiculares.
Passo 2
Vamos lembrar uma regra simples e muito prática (aquela que você precisa saber para a prova): dois vetores são perpendiculares se, e somente se, o produto escalar entre eles for zero. Vou explicar o que é produto escalar de um jeito direto.
Definição do produto escalar para vetores em
: se
então o produto escalar (ou “dot product”) é
Aqui
são as componentes do vetor
e
são as componentes do vetor
. O produto escalar combina componente a componente multiplicando e somando os resultados.
Outra interpretação útil: geometricamente
onde
e
são as normas (comprimentos) dos vetores e
é o ângulo entre eles. Se
e nenhum dos vetores é o vetor nulo, então
e
, ou seja, são perpendiculares.
Passo 3
Agora vamos aplicar isso aos vetores dados. Primeiro extraímos as componentes de
e
a partir das expressões com
:
Aqui
são as componentes
de
e
são as componentes
de
.
Passo 4
Agora calculamos o produto escalar componente a componente, seguindo a fórmula da Passo 2:
Façamos as multiplicações e somas passo a passo:
Somando:
E
Passo 5
Encontramos que
. Pelas propriedades do produto escalar explicadas no Passo 2, isso implica que o ângulo entre
e
satisfaz
, logo
. Em outras palavras, os vetores são perpendiculares.
Dica prática para a prova: sempre que precisar checar perpendicularidade em
ou
, pegue as componentes, faça o produto escalar componente a componente e verifique se o resultado é zero — é curto, direto e muito confiável.
Resposta
Sim.
, portanto os vetores são perpendiculares.