Demonstre que os seguintes vetores são perpendiculares:
\begin{aligned} & \mathbf{A}=\mathbf{i}+4 \mathbf{j}+3 \mathbf{k} \\ & \mathbf{B}=4 \mathbf{i}+2 \mathbf{j}-4 \mathbf{k} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que dois vetores dados são perpendiculares.
As informações fornecidas são os dois vetores:
\mathbf{A}=\mathbf{i}+4\mathbf{j}+3\mathbf{k}
\mathbf{B}=4\mathbf{i}+2\mathbf{j}-4\mathbf{k}
Portanto a tarefa é mostrar, usando essas informações, que os vetores \mathbf{A} e \mathbf{B} são perpendiculares.

Passo 2

Vamos lembrar uma regra simples e muito prática (aquela que você precisa saber para a prova): dois vetores são perpendiculares se, e somente se, o produto escalar entre eles for zero. Vou explicar o que é produto escalar de um jeito direto.
Definição do produto escalar para vetores em \mathbb{R}^3: se
\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3),\qquad \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3),
então o produto escalar (ou “dot product”) é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Aqui u_1,u_2,u_3 são as componentes do vetor \mathbf{u} e v_1,v_2,v_3 são as componentes do vetor \mathbf{v}. O produto escalar combina componente a componente multiplicando e somando os resultados.
Outra interpretação útil: geometricamente
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\cos\theta,
onde \|\mathbf{u}\| e \|\mathbf{v}\| são as normas (comprimentos) dos vetores e \theta é o ângulo entre eles. Se \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0 e nenhum dos vetores é o vetor nulo, então \cos\theta=0 e \theta=90^\circ, ou seja, são perpendiculares.

Passo 3

Agora vamos aplicar isso aos vetores dados. Primeiro extraímos as componentes de \mathbf{A} e \mathbf{B} a partir das expressões com \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}:
\mathbf{A}=(1,\,4,\,3)
\mathbf{B}=(4,\,2,\,-4)
Aqui 1,4,3 são as componentes A_1,A_2,A_3 de \mathbf{A} e 4,2,-4 são as componentes B_1,B_2,B_3 de \mathbf{B}.

Passo 4

Agora calculamos o produto escalar componente a componente, seguindo a fórmula da Passo 2:
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=1\cdot 4 + 4\cdot 2 + 3\cdot(-4).
Façamos as multiplicações e somas passo a passo:
1\cdot 4 = 4,
4\cdot 2 = 8,
3\cdot(-4) = -12.
Somando:
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=4+8-12.
E
4+8-12=0.

Passo 5

Encontramos que \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=0. Pelas propriedades do produto escalar explicadas no Passo 2, isso implica que o ângulo entre \mathbf{A} e \mathbf{B} satisfaz \cos\theta=0, logo \theta=90^\circ. Em outras palavras, os vetores são perpendiculares.
Dica prática para a prova: sempre que precisar checar perpendicularidade em \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3, pegue as componentes, faça o produto escalar componente a componente e verifique se o resultado é zero — é curto, direto e muito confiável.

Resposta

Sim. \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=0, portanto os vetores são perpendiculares.

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